Strum-Liouville方程式からKdV方程式を絞り出す

Strum-Liouville方程式を時間微分した奴の絞りカスを、Strum-Liouville方程式を構成する作用素Lと任意の線形微分作用素Bの交換子をくっつけて、
   $([L,B]-U_t)y=\lambda y$
になる。
今、Bをxについての三階の微分演算子として、
   $B=D^3+f(D,x) \\D\equiv \frac{d}{dx}$
とする。ただし、fは微分作用素Dについての二階の演算子の何かだとすると、Strum-Liouvilleの絞りカスは、
   $([L,B]-U_t)y=\lambda y\\ 3U_xy_{xx}+(2f_x+3U_{xx})y_x+(f_{xx}+U_{xxx}-U_t)y=\lambda y$
になる。ここでyについての項以外は0にならないとエネルギー固有値λが時間的に変化しない解を得ることが出来ないので、それ以外の左辺の項は0になる。ということで、
   $3U_x=0 \\ 2f_x+3U_{xx}=0$
になる。ここで、
   $f=aD^2+bD+c$
とでもしておけば良い。で、ここでfとUの関係が出たらyの項にf=f(U)の形にしてぶちこめばStrum-Liouville方程式を満たして、その上エネルギー固有値が不変な空間を規定する方程式が出る。ここでBを二階の作用素にしても線形方程式しか出ないらしい。一階だと、aU_x+bU_x=0とかいう対流方程式が出てくる。