球座標系で球の体積を計算してみる - Sλの日記 --うつろな日々--

半径rの球の体積の計算。体積, V,は、
   $V=\Bigint drdS$
で決まる。で、dSを考える。
dSはθ方向の弦長と、φ方向の弦長の積なので、それぞれの弦長を考える。
   $dx|_{\theta}=rd\theta\\dx|_{\phi}=r\sin\theta d\phi$
になる。因みに、xは弦長で、下付きはそれぞれの方向。φの変化についてsinθがつくのは球座標の定義で、φをそういう風においてるから。で、これを上の積分の表式に代入する。あと、積分区間も考える。
   $V= \Bigint_{-\pi}^{\pi}d\phi\Bigint_0^{2\phi}d\theta\Bigint_0^rdr\vspace{5mm} r^2\sin\theta\\= \Bigint_{-\pi}^{\pi}d\phi\Bigint_0^{2\phi}d\theta\vspace{5mm} \frac{1}{3}r^3\sin\theta \\= \Bigint_{-\pi}^{\pi}d\phi[-\frac{1}{3}r^3\cos\theta]^{2\pi}_0\\= \Bigint_{-\pi}^{\pi}d\phi\vspace{5mm}\frac{2}{3}r^3\\= [\phi\frac{2}{3}r^3]^{\pi}_{-\pi}\\ =\frac{4}{3}\pi r^3$
になる。
まあこれを出すまでのプロセスが今扱ってる問題では重要なんだが、呼んでる論文に誤植があって、俺が間違ってるのかと勘違いしてしてた。