Legendreの多項式 - Sλの日記 --うつろな日々--

なんつーか直交多項式はLegendreだとかBesselだとかChevyshevだとかLaguerreだとか色々あるが、そんなもん所詮調和関数をどの座標系で解くかだけの違いでしかない。
Legendreは球座標で、Besselは円筒座標。その他はそれらのおまけ。Bessel関数のおまけで、Hankel関数だとか、Neumann関数が出てくるが、これもGreen関数使うときに出てくるおまけ。なのでビビる必要はない。何か応用数学でRodrigの形式だとか母関数がうんちゃらとか出てくるけど、そんなもんどーでもいい。暇潰しにどうぞって感じ。物理現象としては上の現象は全部波ですから。どういうものの周りにどういう波が立つか、若しくは、どういう器の中にどういう波が立つかだけの話。クタクタ考えるのもこれまた楽し。
どーせStrum-Liouville形の境界条件与えたらこういうのが出てくる。因みにStrum-Liouville形の境界条件はこの世で恐らく一番美しい境界条件。
   $a_{11}y(0)+a_{12}y(r)=0\\ a_{21}y'(0)+a_{22}y'(r)=0$
ここで、区間[0,r]で、境界値がそれぞれa_ijで与えられる。
またStrum-Liouville方程式は、
   $\left\{w(x)y_x\right\}_x+\left\{q(x)+\lambda p(x)\right)y=0$
っていう形の波動方程式。一番一般的な形で、これからKdVも出てきたし、Schrodingerも出てくる。Besselもなー。色々拡張して固有値問題にすると乙なもんだ。
それは良いとして、Legendreの多項式は、Legendre方程式を解くと出てくる。これもきっとStrum-Liouville方程式を変数変換すると出てくる。はず。やってねーからわかんねー。もしくはLaplace方程式でも出てくる。これは、やった。
でもって、形としては、
   $\left\{(1-x^2)\frac{\partial^2}{\partial x^2}-2x\frac{\partial}{\partial x}+n(n+1)\right\}y=0$
になる。
で、觧は、Legendre関数だとか、Legendreの多項式とかになる。別に関数で表そうが、多項式で表そうがそれは趣味の問題。多項式にすると後でスペクトルを出せる。関数にすると陰形式でしか出ないのではなかったけか?忘れた。とりあえず現象を把握するには直交多項式系にして、内積取るのが楽チンなんで多項式にするのさ。
っつーことで、多項式の形は、
   $y=\sum_m^{2n}\frac{(2n-2M)!}{2^nm!(n-m)!(n-2m)!}x^{n-2m}$
になる。ここでmは偶数でも奇数でも良いんだが、感じ的には一飛ばし的に足してく。
まーどーでもいいわな。
っつーことで、特殊なLaplace方程式からの変換。
球座標系では、
   $\triangle (r-y)=\frac{2}{r}-\frac{1}{r^2}\left\{ \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta} +\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}\right\}y\\=0$
になる。
で、これの中括弧の中を解く。ラプラシアンを新たに、
   $\triangle_s\equiv\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta} +\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}$
とする。
そして更に、軸対称な運動だとすると、φ方向の変化はθとは独立になるので、この項を落とす。そして、変数変換、x=cosθをすると、
   $\frac{\partial x}{\partial\theta}=-\sin\theta\\ \frac{\partial}{\partial\theta}=\frac{\partial x}{\partial\theta}\frac{\partial}{\partial x}\\ \frac{\partial^2}{\partial \theta^2}= \frac{\partial}{\partial\theta}\frac{\partial x}{\partial\theta}\frac{\partial}{\partial x}\\= \frac{\partial}{\partial\theta} (-\sin\theta)\frac{\partial}{\partial x}\\ =-\cos\theta\frac{\partial}{\partial x} -\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}{\partial}{\partial\theta}\\ =-x\frac{\partial}{\partial x} +\sin^2\theta\frac{\partial^2}{\partial x^2} \\ =-x\frac{\partial}{\partial x} +(1-x^2)\frac{\partial^2}{\partial x^2}$
になる。
これを上の式に入れる。
   $\left\{(1-x^2)\frac{\partial^2}{\partial x^2}-2x\frac{\partial}{\partial x}\right\}y=0$
で、Legendreの方程式のうち、n(n+1)y=0という束縛条件をもつ方程式になる。