Bessel関数の性質 - Sλの日記 --うつろな日々--

Bessel関数はBessel方程式を解くと出てくる関数で、件の方程式は、
   $\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} +\frac{1}{x}\frac{\partial}{\partial x}+n^2\right)u=0$
みたいな感じの方程式で、解としてはBessel関数とNeumann関数がある。0次のNeumann関数は0の極限でlog xをとる。だから原点で発散する。で、Bessel方程式の一般解はBessel関数とNeumann関数の重ね合わせによって決まる。
今は発散する場合は考えてないので、Bessel関数だけ考える。
Bessel関数は多項式展開で、
   $J_n(x)=\sum_m^{\infty}\frac{(-1)^m}{m!\Gamma(n+m+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{n+2m}$
になるらしい。別にこんなもんはどーでもいい。要するに微分とか積分、それと次数についての漸化式とかの関数の性質が欲しい。別に形なんてどーでもいい。というのが特殊関数を扱うときの姿勢だろう。因みに上の式のΓはΓ関数。
実際に、漸化式は、
   $\frac{2n}{x}J_n(x)=J_{n+1}(x)+J_{n-1}(x) \\ \left(\frac{d}{dx}-\frac{n}{x}\right)J_n(x)=-J_{n+1}(x) \\ \left(\frac{d}{dx}+\frac{n}{x}\right)J_n(x)=J_{n-1}(x)$
で、また、xがそこそこ大きいときは、
   $J_n(x)\simeq \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cos \left(x-\frac{\pi n}{2}-\frac{\pi}{4}\right)$
になるらしい。