合流型超幾何級数の漸近解析その1 - Sλの日記 --うつろな日々--

KummerのF関数を核に持つような写像は*1、
   $f_{xx}+\left(A_0+\frac{A_1}{x}\right)f_x +\left(B_0+\frac{B_1}{x}+\frac{B_2}{x^2}\right)f=0$
らしい。
x=0近傍での級数による解の固有値をσにすると、固有方程式は、
   $\sigma^2+(A_1-a)\sigma+B_2=0\\ \sigma_1+\sigma_2=-A_0 \\ \sigma_1\sigma_2=B_0$
になる。
今度はxが無限遠のときの解を考える。上の方程式でxの無限大の極限を考えると、
   $f_{xx}+A_0f_x+B_0f=0$
になる。んー、asymptoticだ。
ここでまた今度は固有値をρにすると、固有方程式は、
   $\rho^2+A_0\rho+B_0=0 \\ \rho_1+\rho2=A_0 \\ \rho_1\rho_2=B_0$
になる。
あとは、もう少し詳しく調べるために、xがデカいところで、基本解にx^ρe^kを入れる。

*1:ちょっと数学っぽく。本当は数学の授業なんざろくすっぽ受けちゃいねーの。微分方程式と偏微分方程式位しか授業受けてない。そういえば複素関数の授業も受けてない。独学した希ガス。あー俺って異端なのね。