Laplace方程式の核 - Sλの日記 --うつろな日々--

Laplace方程式は、
   $\triangle f(x_i)=0$
を満たしてれば変数は何だろうが気にしない。
この方程式は、二つの経路で導出される。
一つ目は渦無し非圧縮流体の質量保存、もう一つは膜振動についての波動方程式を長波近似したものの変位。
一つ目は、渦無し非圧縮は、
   $\text{rot}\vec{u}=0 \\ \text{div}\vec{u}=0$
で、渦無しから速度ポテンシャルが定義できる。
   $\vec{u}=\text{grad}\phi$
この速度ポテンシャルを質量保存の式、divu=0に代入して、
   $\text{div}(\text{grad}\phi)=0\\\triangle\phi=0$
になる。
二つめは、膜振動なり弦振動の変位をξとして、
   $\triangle\xi=\frac{1}{c^2}\xi_{tt}$
で、時間についての解をexp(-iΩt)にして、代入して、
   $\triangle\xi=\frac{\Omega^2}{c^2}\xi$
で、ここで波の波長がデカいと波数が0になるので、
   $\triangle\xi=0$
となる。
という風に異なる変数を核に持ちながらも解の形は同じとかいう変なことになってるわけだが、速度ポテンシャルについて、流体力学の運動学的境界条件から、変位とポテンシャルは、
   $\xi_t=\text{grad}\phi$
とかなっていて、どっちを変数にしても成り立っちゃうことになる。ということで、境界条件を適当に選べば解は幾らでも作りだせるということらしい。と理解しておく。