複素平面上での方程式の正準変換の基礎 - Sλの日記 --うつろな日々--

今、微分方程式の特性方程式の解がsで、方程式の階数がmだとすると、方程式のi番目のζ周りの基本解は、
   $w_i=\phi_i(z-\zeta)^{\rho_i}(z-\zeta)^{\rho_i}$
と書ける。
これらのmこの解を正準変換すると色んな解が出てきて、基本的に二つの解の重ね合わせに適当な重み(積分するときの閉曲面の半径とでもしておこう)を掛けたもので表せるとする。そうすると、今考えてる初期値による2番目の解をv₂として、基本解の重ね合わせ、
   $v_2=s(u_1+u_2)$
で書けるとする。
因に、一つ目の、初期値を満たす解はv₁=u₁とでもしておく。すると、
   $\frac{v_2}{v_1}=\frac{u_2}{u_1}+1$
になる。
ここで、解は冪関数で表されているので、(z-ζ)について周期性を持つ。ので、一番簡単な場合として、上の関係を、
   $\frac{v_2}{v_1}=\frac{1}{2\pi i}\log(z-\zeta)\equiv\psi$
とする。対数関数を一週積分すると定数1が出てくるので、1は消える。
これから、二つめの解は、
   $\phi(z-\zeta)=\psi(\z-\zeta)\frac{\phi_1(z-\zeta)} {2\pi i}\log(z-\zeta)+\phi_2(z-\zeta)$
とかいう風に書ける。
似たような変換を延々と繰り返すと、対数関数がワラワラと出てくる。で、上のような変換の規則を作っておくと、対数関数が無くなるような変換も出来るらしい。
何か良く分からないけど、対数関数は複素平面上で微分方程式を解く上では出てこざるを得ない関数であることらしいことがこの一週間で分かった。
そういえば極座標系のLaplace方程式の解も対数関数だしな。でも俺は工学部の人なのでここまで数学的にやると流石に窒息するっす。やっぱInceよりもCourent&Hilbertの方が向いてる気がする。参考書としては。でもStrum-Louvilleをここまで詳しく書いてるのは他に知らないしなあ。痛し痒しですよ。