Bessel方程式の積分変換を使った解法 - Sλの日記 --うつろな日々--

何かまだ理解してない点が多いのですが、かいとかないと忘れるんで。
方程式は、
   $z^2y_{zz}+zy_z+z^2y-\lambda^2y=0$
これをある積分変換、
   $y=\Bigint d\zeta K(z,\zeta)w(\zeta)$
を使って解く。ここでKは変換の核で、Laplace変換とかFourier変換だと指数関数の形を取る。今は不定にしておいて、上の変換を方程式に付いて施すと、
   $\Bigint d\zeta(z^2K_{zz}+zK_z+z^2K+\lambda K)w(\zeta)=0$
になる。
ここでBessel方程式のパラメータλがもとは微分演算子から来たものであることを考えて、変換の核Kは
   $z^2K_{zz}+zK_z+z^2K+K_{\zeta\zeta}=0$
を満たすとしておく。
このとき、核Kの形は、
   $K=e^{\pm iz\sin\zeta}$
となる。
また、変換された積分方程式の中身に付いて、項別に積分するように仕組むと、
   $\Bigint d\zeta K(w_{\zeta\zeta}+\lambda^2w) +\frac{\partial}{\partial\zeta}\left(k_{\zeta}w-Kw_{\zeta}\right)=0$
の形になる。
ここで、Kの指数の肩の関数が解の収束性を決めるので、中身をみると、
   $iz\sin\zeta=-y\sin\zeta+ix\sin\zeta$
となる。
ここで、複素数zの実部の無限大から無限大へ積分するような経路を選ぶことで上の積分は0に収束して、積分方程式が成立するので、微分方程式の解は、
   $H_{\lambda}^1(z)=-\frac{1}{\pi}\Bigint_{L_1} d\zeta e^{iz\sin\zeta+i\lambda\zeta}\\H_{\lambda}^2(z)=-\frac{1}{\pi}\Bigint_{L_2} d\zeta e^{iz\sin\zeta+i\lambda\zeta}$
となる。ここでLは積分経路を示すが、実部の正の側と負の側に経路を取ることで変わる経路を示す。
なんつーか積分の収束性から方程式の解を導くということらしい。これからまた少し別のものを調べよう。例えば変換の核はあれでいいのかとか、補助方程式もあれで良いのかとか。
まあ積分方程式による解法としてはこういうのがあるんだろうなあ。
とかいって全然Hankel関数の性質まで踏み込めないのでした。あー駄目駄目だ。

ついでに、核は適当に選んで、補助方程式も任意に決めて良いらしい。どうやら古式に則った方法が色々あることが判明。