Bessel方程式の無次元化ってどうやってやるんだろうか

まあ波動方程式で時間的に定常な波動を仮定するとHemlholtz方程式が出てくる。定常振動をexp(-iωt)とすると、
   $\triangle\phi=\frac{1}{c^2}\phi_{tt}\\ \triangle\phi+\frac{\omega^2}{c^2}\phi=0$
ここで波動方程式の分散関係、ω=ckを使って書くと、
   $\triangle\phi+k^2\phi=0$
になる。ここで円筒座標系で方程式を書いて、方位角方向にn次のモードの振動exp(inθ)があると仮定すると、それがBessel方程式になる。
   $\phi_{rr}+\frac{\phi_r}{r}+\frac{\phi_{\theta\theta}}{r^2}+k^2\phi=0\\ x=kr\\ k^2\phi_{xx}+k^2\frac{\phi_x}{x}+k^2\frac{\phi_{\theta\theta}}{x^2}+k^2\phi=0\\ \phi_{xx}+\frac{\phi_x}{x}+\left(1-\frac{n^2}{x^2}\right)\phi=0$
この時点で実は半径方向には周波数と波速で決まる波数による波長で無次元化がされていたりする。じゃあそうしたら今度はポテンシャルφを無次元化することを考えるのだけど、代表長さは波長で、時間は周波数で良いんだろうか?ポテンシャルの次元は、[L²/T]なんだけどなあ。良く分からん。
でもって、今度は近似をしようってことで、波長が十分長いと仮定する。そうすると波数は0になるので、Helmholtz方程式、
   $\phi_{rr}+\frac{\phi_r}{r}+\frac{\phi_{\theta\theta}}{r^2}+k^2\phi=0$
が、
   $\phi_{rr}+\frac{\phi_r}{r}+\frac{\phi_{\theta\theta}}{r^2}=0$
ってなって、これがLaplace方程式になる。で、このLaplace方程式を長さスケールで無次元化しようと考えるわけだが、そうすると波数が0に近いと近似した時点で方程式の中から波長の情報が消えてしまってて、果してそんなものを代表長さにとって良いのかがすげー微妙になってくる。あー悩ましい。適当な屁理屈をつけてとか言うんだけど、適当な屁理屈が全然思い付かないっす。