行列方程式の固有値問題の構造 - Sλの日記 --うつろな日々--

これまで固有値問題って何となく固有値を決めて、それを方程式にぶち込んでってやってたんですが、行列を扱うようになってからちゃんとしたformulationが必要になりまして、ちゃんとやることにしました。
今、解くべき方程式は、
   $\vec{X}'=A\vec{X}$
で、ここで、解を、固有ベクトルqと固有値αを使って、
   $\vec{X}=e^{\alpha y}\vec{q}$
とする。
これを方程式にぶち込むと、
   $\alpha\vec{q}=A\vec{q}$
となる。
これを少し変形すると、
   $(\alpha I-A)\vec{q}=0$
となる。
ここでこの方程式で固有ベクトルqが非自明解を持つ条件は、
   $\det |\alpha I-A|=0$
で、これから固有方程式が導出される。N×Nの行列だったときにはN次方程式になって、それを解くとN個の固有値が出てくる。
次に、固有値が出てきたら、それを使って固有ベクトルを求める。訳だが、これは実際に固有値を代入して適当に代数計算をすると固有ベクトルのそれぞれの成分が出てきて、導出することが可能。