気体の構成則の級数展開 - Sλの日記 --うつろな日々--

今はLinuxを使ってるので、mimeTeXでの表現力が大きくていい感じです。OS Xだとバックスラッシュが文字化けするんですよね。
で、barotoropicな気体の構成則は、
   $PV^{\gamma}=Const.$
な訳ですが、ここで平衡状態での圧力と体積をそれぞれP₀、V₀と仮定すると、
   $\frac{P}{P_0}=\left(\frac{V}{V_0}\right)^{-\gamma}$
になります。
ここで今気泡の内部の圧力を考えると、気泡の体積は、
   $V=\Bigint d\theta\sin\theta d\phi r^3$
で、平衡状態での半径をaとして、そこからの変位をξとすると、
   $\frac{V}{V_0}=\Bigint d\theta\sin\theta d\phi (1+\frac{\xi}{a})^3\\ =\Bigint d\theta\sin\theta d\phi\left(1+3\frac{\xi}{a}+3\frac{\xi^3}{a^3}+\frac{\xi^3}{a^3}\right)\\ \equiv \left(1+3\frac{\bar{\xi}}{a}+3\frac{\bar{\xi^2}}{a^2}+\frac{\bar{\xi^3}}{a^3}\right)$
になります。
ここで、圧力について級数展開をすると、圧力は体積の関数なので、
   $p\equiv\frac{P}{P_0}=\left\(\frac{V}{V_0}\right)^{-\gamma}\\ =1-\gamma\left(\frac{V}{V_0}\right)^{-\gamma-1}\|_{V=V_0}d\left(\frac{V}{V_0}\right) +\frac{\gamma(\gamma+1)}{2}\left(\frac{V}{V_0}\right)^{-\gamma-2}\|_{V=V_0}d^2\left(\frac{V}{V_0}\right)\cdots$
になります。
ここでdVについて考えると、
   $d\left(\frac{V}{V_0}\right) \\=\frac{V(a+\xi)-V(a)}{V_0}\\ =3\frac{\bar{\xi}}{a}+3\frac{\bar{\xi^2}}{a^2}+\frac{\bar{\xi^3}}{a^3}$
で、これを上のに代入すると、
   $\frac{P}{P_0}= 1-\gamma\left{3\frac{\bar{\xi}}{a}+3\frac{\bar{\xi^2}}{a^2}+\frac{\bar{\xi^3}}{a^3}\right\} +\frac{\gamma(\gamma+1)}{2}\left\{3\frac{\bar{\xi}}{a}+3\frac{\bar{\xi^2}}{a^2}+\frac{\bar{\xi^3}}{a^3}\right\}^2 \\= 1-\frac{3\gamma\bar{\xi}}{a}-3\gamma\frac{\bar{\xi^2}-\frac{3}{2}(\gamma+1)\bar{\xi}^2}{a^2}+O(\epsilon^3)$
になります。が、これで良いのかは甚だ疑問ののこるところで、実は変位について級数展開するべきかも知れないし、でも変位と体積の間の連鎖則からどっちでやっても同じ答えが出てくるかも知れないしと、まあ色々とあれなかんじなのです。