一階偏微分方程式の特性曲線

今までそういうもんだと思って使ってたものがやっと納得して使えるようになりました。嬉しかったので書き付けてみます。
簡単な一階の偏微分方程式が、
  
で与えられてるとします。
一方で、特性曲線の定義は、

特性曲線L_ξ上で解uが一定の値を持つような曲線

になります。
で、uが一定になる条件は、uの全微分duが0になることです。ので、ここでuの全微分を考えます。今、u=u(x,t)なので、
  
になります。
ここでduが0になる条件は自明なものしかないのでもう少し変形をします。勿論u_t=0かつ、u_x=0とかしても良い訳ですがね。でもそれじゃ何も得られないので。
  
になります。
ここで右辺が0になる非自明な条件は、
  
です。これで、このときのxとtの関係がuが一定の値を持つための条件です。なのですが、これだと一般的すぎて、どの方程式に対して成り立つ条件なのか分からないので、また方程式を思い出します。
すると、
  
なので、これをuが一定の値をとるための条件式に適用すると、
  
となります。
これが、今考えてる方程式についての解が一定の値を持つようなxとtの関係式で、これを積分することで特性曲線を書くことが出来ます。
また、最早方程式の解はどの特性曲線に乗ってるかにしか依存しなくなるので、特性曲線を示す積分定数だけの関数になり、一般的な解が得られます。これが一階の方程式の一般解を求めるための手順のようです。