無次元化した渦度方程式

流体力学

無次元化された渦度方程式を導出するには、無次元化された運動方程式にrotをかければよいので、最初に運動方程式を無次元化する。
運動方程式は、
  \frac{\partial u_i}{\partial t}+\frac{\partial u_iu_j}{\partial x_j}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial P}{\partial x_i}+\nu\frac{\partial^2 u_i}{\partial x_i\partial x_i}
で、距離を代表長さL、流速を代表流速U、圧力を代表流速で決められる動圧ρU2で無次元化する。時間は代表長さと代表流速からL/Uで評価される。これを上の運動方程式に代入すると、
  \frac{\partial (u_i/U)}{\partial (t/(L/U))}+\frac{\partial (u_iu_j/U^2)}{\partial (x_j/L)}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial (P/\rho U^2)}{\partial (x_i/L)}+\nu\frac{\partial^2 (u_i/U)}{\partial (x_i/L)\partial (x_i/L)}\\ \frac{U^2}{L}\frac{\partial u_i}{\partial t}+\frac{U^2}{L}\frac{\partial u_iu_j}{\partial x_j}=-\frac{1}{\rho}\frac{\rho U^2}{L}\frac{\partial P}{\partial x_i}+\nu\frac{U}{L^2}\frac{\partial^2u_i}{\partial x_i\partial x_i}\\ \frac{\partial u_i}{\partial t}+\frac{\partial u_iu_j}{\partial x_j}=-\frac{\partial P}{\partial x_i}+\underbrace{\frac{\nu}{LU}}_{=1/Re}\frac{\partial^2u_i}{\partial x_i\partial x_i}
これにrotかけると渦度方程式なんだが、まあPの項は消えて、移流項からおまけが出て、粘性項はお咎めなしになる。実際には面倒臭いのでその辺の展開はやらないが、ベクトル解析の公式を幾つか使うと簡単に展開できる。
ここで渦度を
  \omega_i=\epsilon_{ijk}\frac{\partial u_j}{\partial x_k}
とする(要するにω=rot uってこった)。そして、上の運動方程式にrotをかけたものは
  \frac{\partial \omega_i}{\partial t}+u_j\frac{\partial \omega_i}{\partial x_j}=\omega_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{1}{Re}\frac{\partial^2\omega_i}{\partial x_i\partial x_i}
になる。
ここで流れ関数をベクトルポテンシャルとして次のように定義して、それを渦度方程式に代入する。
  \omega_i=\frac{\partial^2\psi_i}{\partial x_j\partial x_j}\\ \frac{\partial}{\partial t}D\psi_i+\epsilon_{ijk}\frac{\partial\psi_j}{\partial x_k}\frac{\partial}{\partial x_j}D\psi_i=D\psi_i\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{1}{Re}D^2\psi_i\\ \text{where}D=\frac{\partial^2}{\partial x_i\partial x_i}
これが運動方程式を流れ関数で表したものである。
ここで旋回流がないとすると、
   \frac{\partial}{\partial t}D\psi_i+\epsilon_{ijk}\frac{\partial\psi_j}{\partial x_k}\frac{\partial}{\partial x_j}D\psi_i=\frac{1}{Re}D^2\psi_i
と簡単になる。
ついでにこれの線形化は流れ関数を時間に依存しない主流成分と、時間に依存する摂動成分に分けることで行う。具体的には、
  \psi_i(t,x_i)=\bar{\psi}_i(x_i)+\tilde{\psi}_i(t,x_i)
として、これを上の運動方程式に代入することで出来る。
   \frac{\partial}{\partial t}D\tilde{\psi}_i+\epsilon_{ijk}\frac{\partial}{\partial x_k}(\bar{\psi}_j(x_i)+\tilde{\psi}_j(t,x_i)){\partial x_k}\frac{\partial}{\partial x_j}D(\bar{\psi}_i(x_i)+\tilde{\psi}_i(t,x_i))=\frac{1}{Re}D^2(\bar{\psi}_i(x_i)+\tilde{\psi}_i(t,x_i))
これを展開すると摂動成分についての線形な方程式が出てくるんだけどね、もう面倒臭いし、これから実家帰るんでここまでにしてみます。