直交座標系でのYoung-Laplace方程式 - Sλの日記 --うつろな日々--

一般的にYoung-Laplace方程式は
   $\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}=\Delta P$
になる。面倒臭いので無次元化してある。これを弧長と偏角の座標系で表す。弧長偏角系と曲率半径の間の関係は、
   $\array{R_1d\alpha =ds\\-R_2\cos\alpha =y}$
なので、これを上のYoung-Laplace方程式に代入すると、
   $\frac{d\alpha}{ds}-\frac{\cos\alpha}{y}=\Delta P$
になって、弧長と直交座標系の間の関係は
   $\array{ds\cos\alpha =dz\\ds\sin\alpha =dy}$
で、更に、yとzと偏角αの関係は正接によって与えられて、
   $\frac{dz}{dy}=\tan\alpha$
よって、上の式からsとαを消す努力をする。cosαが邪魔だが、
   $\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}}$
と