エネルギースペクトル - Sλの日記 --うつろな日々--

エネルギースペクトルテンソルは速度の二点相関のFourier変換で与えられ、
   $E_{ij}=\Bigint_{-\infty}^{\infty}dx^3e^{ik_kx_k}v_iv_j$
らしい。ってゆーか定義が意味のままなんだけどね。そこで、エネルギースペクトルはこれにdelta関数掛けたのの面積積分で書けるんだが、そこはGaussの法則を使って体積積分にして、
   $E(k)=\Bigint_{-\infty}^{\infty}dk^3\frac{1}{2}\Phi_{ii}$
と定義するらしい。
エネルギースペクトルテンソルは、エネルギースペクトルを最後までまじめに計算した奴で、まあ乱流の最小渦の波数から波数無限大までの領域で積分すると、エネルギースペクトルテンソルの対角成分と、エネルギースペクトルの間に
   $E_{11}=\Bigint_{k_1}^{\infty}dk\frac{E(k)}{k}\left(1-\frac{k_1^2}{k^2}\right)$
という関係が導かれる。この逆写像は、騙し騙し計算することで得られる。ちなみにkはそれぞれの波数空間で定義される距離のようなもの*1。最初にkで微分する。ってゆーか微分し続ける。レポート書きてー奴はこれ全部写せ。あとお礼はだな、俺は気持ち*2だけで十分です。
   $\frac{dE_{11}}{dk}=\frac{dk_1}{dk}\frac{d}{dk_1}\Bigint_{k1}^{\infty}dk\frac{E}{k}\left(1-\frac{k_1^2}{k^2}\right) \\=\frac{k}{k_1}\Bigint_{k_1}^{\infty}dk\frac{2k_1E}{k^3} \\ \frac{d}{dk}\frac{1}{k}\frac{dE_{11}}{dk}=\frac{1}{k_1}\frac{2k_1E}{k^3}\\ E=\frac{k^3}{2}\frac{d}{dk}\frac{1}{k}\frac{dE_{11}}{dk}$
あー疲れた。でもまだある。

乱流中での流速の二点相関の成分の間にはvon Karmanの式とかいうのがあって、L方向*3とN方向*4の間に、
   $v_2v_2=v_1v_1+\frac{x_1}{2}\frac{\partial v_1v_1}{\partial x_1}$
の関係がある。これに速度相関から得られるエネルギースペクトルテンソルの逆変換
   $v_iv_j=\Bigint_{-\infty}^{\infty}dk^3e^{ik_kx_k}\frac{E}{4\pi k^2}$
を掛けて、それに上の式を代入する。
そして、2の向き、つまり、N方向のエネルギースペクトルテンソルの対角成分は
   $E_{22}=\Bigint_{-\infty}^{\infty}dx^3e^{ik_kx_k}v_2v_2$
なので、これに上の関係を適用すると、
   $E_{22}=\Bigint_{-\infty}^{\infty}dx^3e^{ik_kx_k}\left\{v_1v_1+\frac{1}{2}x(v_1v_1)_x\right\} \\=\Bigint_{-\infty}^{\infty}dx^3e^{ik_kx_k}v_1v_1+\Bigint_{-\infty}^{\infty}dx^3e^{ik_kx_k}\frac{1}{2}x(v_1v_1)_x$
そして、あとの計算は前のものに従う、また波数空間での積分区間はL方向、つまり1の方向で用いた物と同じなので、結局2の方向に付いて求めたものも1の方向の波数成分の関数として表せる。

*1:このへんはちょっと自信がない。

*2:現金

*3:流下方向

*4:その鉛直方向みたいなもん