嫌がらせ

ネタ 流体力学 数学

やっとStrum-Liouville方程式からKorteweg-deVries*1方程式を導くのに成功したっす。後には累々たる計算用紙の屍が10枚程。っつーことで、この達成感を示すために導出のサマリーを示しますよ。なんたってこちとら1年間まるまる便秘だったのがある日突然猛烈な便意に襲われて便所にいったらあまりにも沢山ウンコが出て便器からウンコがはみ出しちゃったYOーー!!くらいな達成感です。これをあらわさで置くべきか。
ということで、書きます。
っつーかやっぱ数学は美しいと思うんですよ。だから、書く。


  ([L,B]-U_t)y=\lambda_ty \\ [L,B]=LB-BL\\ B\equiv D^3+p(x)D^2+q(x)D+w(x)\\D\equiv\frac{d}{dx}
として、交換子の中身を見ると、
  [L,B]=(D^2-U)(D^3+pD^2+qD+w)-(D^3+pD^2+qD+w)(D^2-U)\\ =(D^2pD^2-pD^4)+(D^2qD-UD^3+D^3U-qD^3)+(D^2w-UpD^2+pD^2U-wD^2)+(qDU-UqD)
になる。ここで括弧はそれぞれDの次数で区切ってあるので、それぞれの次数の中身を見てみる。
四階の項について、
  D^2pD^2=D(DpD^2)\\=D(p_xD^2+pD^3)\\=p_{xx}D^2+2p_xD^3+pD^4\\ D^2pD^2-pD^4=2p_xD^3+p_{xx}D^2
三階の項について、
  D^2qD=D(DqD)\\=D(q_xD+qD^2)\\=q_{xx}D+2q_xD^2+qD^3 \\D^3U=D^2(DU)\\=D^2(U_x+UD)\\=D(UD^2+2U_xD+U_{xx}) \\=UD^3+3U_{xx}D+3U_xD^2+U_{xxx} \\D^2qD-UD^3+D^3U-qD^3=(2q_x+3U_x)D^2+(q_{xx}+3U_{xx})D+U_{xxx}
二階の項について、
  D^2w-IPD^2+pD^2U-wD^2=(2w_x+2PU_x)D+w_{xx}+pU_{xx}
一階の項について、
  qDU-UqD=qU_x
になる。そして、Dの数は微分の次数なので、Dの次数で係数をまとめると、
三次の項については、
  2p_xD^3
二次の項については、
  (p_{xx}+3U_x+2q_x)D^2
一次の項については、
  (q_{xx}+3U_{xx}+2w_x+2pU_x)D
零次の項については、
  U_{xxx}+w_{xx}+pU_{xx}+qU_x
になる。これをもとの変形されたStrum-Liouville方程式にいれるんだが、Dについてのそれぞれの関数をfnとすると、Strum-Liouville方程式は、
  (f_3\frac{d^3}{dx^3}+f_2\frac{d^2}{dx^2}+f_1\frac{d}{dx}+f_0+U_t)y=\lambda_ty
になる。
ここでλが時間的に変化しない条件はそれぞれの微分の次数についての係数が0であることで、ついでに0次の項は固有値に紛れ込むと考えると、1次から3次までの項が0になる。よって、それぞれの項について別々に連立方程式が出来て、
  \left\{\array{2p_x=0\\3U_x+2q_x=0\\q_{xx}+3U_{xx}+2w_x+2pU_x}
になる。ここでこれらの方程式は簡単に積分できて、p, q, wはそれぞれ係数a, bを使って、
  \left\{\array{p=a\\q=\frac{b-3U}{2}\\w=-\frac{3}{2}u_{xx}-2aU_x}
になる。
これを本に戻すと、
  U_t-U_{xxx}+\left(a-\frac{3}{2}\right)U_{xx}+\frac{2a-b+3U}{2}U_x=0
になる。チャームポイントは一番左っ側の項がさりげなく非線型であること。
これを適当に変数変換すればありがちなKorteweg-de Vries方程式になる。良かった良かった。超すっきりしたよ。

*1:今までタイプミスしてた。KortewegをKordwegと書いていた。小っ恥ずかしい。