微分の連鎖則*1

数学 流体力学

変数xiの関数wが、同じように変数xiの関数pの関数だったとする。まあ合成関数。
  w(x_i)=w(p(x_i))
ここでwをxで微分しようとすると、
  \frac{\partial w}{\partial x_i}=\frac{\partial w}{\partial p}\frac{\partial p}{\partial x_i}
になる。筈。
これをLaplace方程式の觧f=1/rでやってみる。因みにrは、
  r^2=x^2+y^2+z^2
になる。
で、これの勾配を取ると、f=1/rは吸い込み流れなので、それぞれの方向に同じ成分を持つベクトル場が出てくるはず。
  \text{grad}f=\frac{\partial}{\partial x_i}\frac{1}{r}\\ =\frac{\partial}{\partial r}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial x_i}r\\ =-\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial x_i}r\\ = -\frac{1}{r^2}\left(\array{2x \\2y \\2z}\right)
になる。これできっと正しいはず。いや、正しい。似たようなことをやろうとしてどつぼに嵌まってます。