波動関数を特殊関数にする - Sλの日記 --うつろな日々--

Legendreの方程式は、球座標系での波動方程式 *1、
$\left(\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}r^2\frac{\partial}{\partial r} +\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta} +\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2} -k^2\right)u=0$
を変形することで出てくる。
ここで波動関数のr方向の解をr^-nとすると、
$\left(\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta} +\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2} \right)u= \left\{n(n+1)+k'^2\right\}u \\ k'=kr$
になる。これがLegendre方程式で、この方程式の解がLegendre関数だとか、Legendreの多項式。今は多項式の中身が問題なのではなくて、Legendre方程式についてθとφの微分演算子の組合せによってその固有値がn(n+1)+k²になること。
同じことを円筒座標系でやるとBessel関数の微分演算子の組合せについての固有値が出てくる。それを探すのが今のところの目的か。取り敢えず今回の問題ではr方向の波についてはrのn乗で減衰するとして上のような固有値が出てきて、球座標系について出来ることは大体円筒座標系でも出来るはずなんで、それをやってみる。

*1:面倒臭いからHelmholtz方程式にしちゃう。Helmholtz方程式もLaplace方程式も時間について定常な方程式だが、Helmholtz方程式の場合は一応固有値問題の解法に則ってその方程式の導出をしている。Laplace方程式とHelmholtz方程式の物理的な意味合いの相違については、これまで考えたことが無いなあ。明日あたりボスに聞いてみよう。因みに、今考えてる波動方程式をLaplace方程式として議論を進めると、下の式のk²は無くなる。