4階の微分方程式

流体力学 数学

Stokes方程式、
  \mu\triangle\vec{u}=\text{grad}p
のdivをとると、
  \mu\triangle\text{div}\vec{u}=\text{div}\text{grad}p
で、連続の式から、
  \triangle p=0
になって、これを更にStokes方程式にLaplacianを掛けたのに代入すると、
  \mu\triangle^2\vec{u}=\text{grad}\triangle p\\ \mu\triangle^2\vec{u}=0
になる。
ここで、z方向成分の解wを、
  w=\hat{w}(kz)\cos (\alpha x-\beta y)
とすると、変形したStokes方程式は、常微分方程式、
  \left(\frac{k^2}{\alpha^2-\beta^2}\right)^2\hat{w}_{zzzz} -2\frac{k^2}{\alpha^2-\beta^2}\hat{w}_{zz}+ \hat{w}=0
になる。
これを解くんだが、面倒臭くてやる気がしない。というか、どういう風にやれば良いか見当が付かない。


取り敢えずこれの固有方程式なんぞを出してみる。上の式にexp(λz)何ぞを代入すると、
  K^2\lambda^4-2K\lambda^2+1=0\\ (K\lambda^2-1)^2=0\\ \lambda=\pm\frac{1}{\sqrt{K}}
になる。また、これは多重根を持つので、一般解は、
  \hat{w}=A\cosh \frac{z}{\sqrt{K}}+B\sinh \frac{z}{\sqrt{K}}+C\frac{z}{\sqrt{K}}\cosh \frac{z}{\sqrt{K}}+D\frac{z}{\sqrt{K}}\sinh \frac{z}{\sqrt{K}}
になる筈。今読んでる論文には違う解が書いてあるんだけど、これはきっとミスプリに違いない。