級数解を出す - Sλの日記 --うつろな日々--

ある区間で一価で正則であることを解に求めるとき、解は級数で表すことが出来る。
級数解をyとして、微分作用素をLとして、
   $y=\sum_{\nu}c_{\nu}z^{\rho-\nu}\\L=\sum_k^nP_{n-k}(z)\frac{d^k}{dx^k}$
とする。
解は、Lw=0で決まるので、級数を上の作用素に掛けると、
   $Lw=\sum_{\nu}c_{\nu}\sum_k^nP_{n-k}(z)\frac{d^kz^{\rho-\nu}}{dz^k}$
となる。ここで、微分作用素が級数に掛かることによって出てくる関数を固有関数とすると、
   $Lw=\sum_{nu}c_{\nu}f(z,\rho-\nu)z^{\rho-\nu}\\ =\sum_{\nu}c_{\nu}f(\rho-\nu)z^{\rho-\nu}$
となる。
ここで、固有関数はwと同じ区間で収束するという条件を付けて、また、wはLw=0を満たすので、それぞれのzの冪数に対して、方程式を満たすための非自明解は、
   $c_{\nu}f(\rho-\nu)=0$
が全てのνについて成り立つときなので、解は上の固有方程式の解を与えることによって得られる。
ということで、変な方程式についての級数解は昔の人達がかなり詳しく調べてるので、使う方はその性質をしらべてウダウダすればよいという話。