Legendre方程式の二つめの解の導出 - Sλの日記 --うつろな日々--

実はこれのやり方をBessel方程式でやることについてここ一週間ずーーーーっとうだうだわかんねーわかんねー言ってたんですよ。分かるようになって、一週間分のうんこを一辺に出した感じで超すっきりした。やったね俺。
とかいう話は置いといて、Legendre*1方程式は、
   $(1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-2x\frac{dy}{dx}+n(n+1)y=0$
で、きっと水素原子の振動だか何だかで出てくる。どーせこれもLaplace方程式の解だろ。とかいうひねくれた考え方は捨てて、これを例題にしてみる。
で、この方程式の解が、Legendreの多項式P_n(x)で表せて、上の方程式を満たす。別に多項式の中身は気にしないというスタンスは、とっても重要。大体中身がどうだとか、母関数がどうだとかで量子力学の授業で落ちて行く人が多いが、こんなもん何か値をぶち込むと何かが出てくる仕組み位に思ってないと単位は取れない。っつーか三角関数も実は中身が何だか分からないでしょ?でも三角関数の形は分かるでしょ?三角関数の級数表示みても何だか分かんないでしょ?
ということで、中身がどうだか気にしないという姿勢は大事。どーせ多項式だろとか思っとけば良い。
で、別の解を、
   $y=u(x)P_n(x)+v(x)$
と仮定する。
それを方程式に代入する。
yの微分については、
   $y_x=u_xP+uP_x+v_x\\ y_{xx}=u_{xx}+2u_xP_x+uP_{xx}+v_{xx}$
で、また、P_xxについてはLegendre方程式を満たすので、落とせる。
で、上の関係を方程式に代入すると、
   $\left\{(1-x^2)u_{xx}-2xu_x\right\}P+2u_xP_x+2xv_x-(1-x-2)v_{xx}+n(n+1)v=0$
になる。
ここで、P=0以外の解は、Pにくっついてる係数が0なので、その条件からuが決まる。そしてこのuについての方程式は部分分数分解だとかで積分できる。
   $(1-x^2)u_{xx}-2xu_x=0\\ \{(1-x^2)u_x\}_x+2xu_x-2xu_x=0\\ u=\log \frac{1+x}{1-x}$
みたいな形になる。
vについては上の方程式をとくときの積分定数を使って決定される。
まあ要するに二階の方程式の別の解を求めるというのはこういうことを使いながらやるらしい。
ということで、これからBessel関数をば。

*1:「るじゃんどる」と読みます。