Orr-Sommerfeld方程式

流体力学

二次元の粘性を考えた渦度方程式は、
  \frac{\partial\Omega}{\partial t}+u\frac{\partial\Omega}{\partial x}+v\frac{\partial\Omega}{\partial y}=\frac{1}{Re}\triangle\Omega
ここでReはReynolds数で、Ωが渦度。これを流れ関数Ψで表すと、流れ関数と渦度の間の関係は、Ω=△Ψなので、
  \left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{\partial\Psi}{\partial y}\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial\Psi}{\partial x}\frac{\partial}{\partial y}\right)\triangle\Psi=\frac{1}{Re}\triangle^2\Psi
になる。
ここで流れ関数を主流成分と摂動成分に分ける。今鉛直上向きに主流の流速分布があって、それがU(y)でかけるとする。でもって流れ関数は流量なので、流れ関数は主流による流量と、摂動による流れ関数に分けられる。
  \Psi=\Bigint_0^yU(y)dy+\psi(x,y,t)
になる。
これを上の式に代入する。そして摂動ψについての二次以降の項は十分小さいとして無視することにすると、
  \left(\frac{\partial}{\partial t}+U\frac{\partial}{\partial x}\right)\triangle\psi-\psi_xU_{yy}=\frac{1}{Re}\triangle^2\psi
ここでさらに流れ関数の摂動の項を、
  \psi(x,y,t)=\phi(y)e^{i(kx-\omega t)}
という風にy方向の擾乱と時空間方向の振動に分けて考えると、y方向の擾乱φについて、
  (U-c)(\phi_{yy}-k^2\phi)-\phi U_{yy}=\frac{1}{ikRe}\left(\frac{\partial^2}{\partial y^2}-k^2\right)^2\phi
になる。これがOrr-Sommerfeld方程式らしい。で、解はy方向の流れ関数の擾乱になるらしい。