波動方程式

流体力学

何か音波についてちょっとだけやることになりました。音波についての波動方程式は微小変形論の範疇で型がつくのでまあ良く見る波動方程式を解くことになるのだろう。
で、最初に波動方程式の導出について考えてみる。基本的に運動方程式と質量保存で大体のことは片がつく。で、圧縮性流体についての運動方程式と質量保存は、
  \rho\left\{\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}+(\vec{u}\cdot\text{grad})\vec{u}\right\}=-\text{grad}p\\ \frac{\partial\rho}{\partial t}+\vec{u}\cdot\text{grad}\rho=-\rho\text{div}\vec{u}
ここで線形解析なので非線型項を落とすと、
  \rho\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}=-\text{grad}p\\ \frac{\partial\rho}{\partial t}+\rho\text{div}\vec{u}=0
ここで速度ポテンシャルを導入すると、
  \rho\frac{\partial}{\partial t}\text{grad}\phi=-\text{grad}p\\ \frac{\partial\rho}{\partial t}+\rho\triangle\phi=0
ここで運動方程式を積分すると、Bernoulliの定理になる、
  \rho\frac{\partial\phi}{\partial t}=p_0-p
さらにもう一回時間で微分すると、
  \rho\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}=-\frac{\partial p}{\partial t}\\=-\frac{dp}{d\rho}\frac{\partial\rho}{\partial t}
これに質量保存則を適用すると、
  \frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}=-\frac{\partial p}{\partial t}\\=-\frac{dp}{d\rho}\triangle\phi
になる。また、波速については、
  c^2=\frac{dp}{d\rho}
できまる。らしい。