運動方程式を積分する - Sλの日記 --うつろな日々--

運動方程式から波動方程式を出すときに、速度ポテンシャルを定義して、それを積分するんですよ。具体的には、線形化した運動方程式は、
   $\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}=\text{grad}p$
なんですが、これに速度ポテンシャル、
   $\vec{u}=\text{grad}\phi$
を代入して、
   $\frac{\partial}{\partial t}\text{grad}\phi=\text{grad}p$
になります。で、これを積分します。積分するときには、
   $\Bigint d\vec{x}\cdot\frac{\partial}{\partial t}\text{grad}\phi=\Bigint d\vec{x}\cdot\text{grad}p$
になるんですが、これが円筒座標系のときにどうなるかがかなり考え所です。直交座標系なら、
   $\Bigint d\vec{x}\cdot\frac{\partial}{\partial t}\text{grad}\phi=\Bigint d\vec{x}\cdot\text{grad}p\\ \frac{\partial}{\partial t}\Bigint\left(\array{dx\\dy}\right)\cdot\left(\array{\phi_x\\\phi_y}\right)=\Bigint \left(\array{dx\\dy}\right)\cdot\left(\array{p_x\\\p_y}\right)$
になるんですが、直交座標系の場合は、
   $\Bigint d\vec{x}\cdot\frac{\partial}{\partial t}\text{grad}\phi=\Bigint d\vec{x}\cdot\text{grad}p\\ \frac{\partial}{\partial t}\Bigint\left(\array{dr\\rd\theta}\right)\cdot\left(\array{\phi_r\\\frac{\phi_\theta}{r}}\right)=\Bigint \left(\array{dr\\rd\theta}\right)\cdot\left(\array{p_r\\\frac{p_\theta}{r}}\right)$
でいいのだろうか。すげー微妙です。