Burgers渦

流体力学

Burgers渦は流体の運動方程式の厳密解のひとつで、最近解かれたもののようです。N-S方程式とも言いますね。N-Sは、Navier-Stokesの略な訳ですが、これに方程式とかつけるとやったら検索に引っかかるので嫌なのですよ。そんな大したこと書いてるわけでもないのにな。そしてBurgers渦はLamb-Oseen渦を更に拡張させたものらしい。粘性も考慮に入れた渦度方程式のかいってやつですな。それでもって、これには粘性核とかいうのがあって、それがパラメータで与えられてるらしい。
まあそんなのは置いといて、流体の運動方程式は、
  \frac{\partial v_i}{\partial t}+v_j\frac{\partial^2 v_i}{\partial x_j}=-\frac{\partial p}{\partial x_i}+\nu\frac{\partial v_i}{\partial x_j\partial x_j}
で、これのrotをとると渦度方程式になって、
  \frac{\partial\omega_i}{\partial t} + v_j\frac{\partial\omega_i}{\partial x_j} = \omega_j\frac{\partial v_i}{\partial x_j} + \nu\triangle\omega_i
になります。
でもって、
  v_i=\alpha_{ij}x_j
で、xの対角成分が0のときに、二次元極座標系で、
  \omega=\omega_0e^{-\frac{\alpha}{2\nu}r^2}
という解を持つようです。
で、これの流速は、軸対称だとして、流速と渦度の関係が、
  \omega=\frac{1}{r}\frac{\partial rv_{\theta}}{\partial r}
で与えられてるので、渦度を代入して積分すると流速が得られて、
  \omega_0e^{-\frac{\alpha}{2\nu}r^2}=\frac{1}{r}\frac{\partial rv_{\theta}}{\partial r} \\ \omega_0\int_0^rdrre^{-\frac{\alpha}{2\nu}r^2}=rv_{\theta} \\ v_{\theta}=\frac{\omega_0\nu}{4\alpha r}\left(1-e^{-\frac{\alpha}{2\nu}r^2}\right)
になります。
特殊関数が出てくるかと思いきや、以外と綺麗にまとまります。が、パラメータがひとつ入ってくるのでかなり微妙です。