2次の線形非斉次方程式の解法 - Sλの日記 --うつろな日々--

あるバネと外力のある力学系を考える。

$\frac{du}{dt} = S - k x$
$\frac{dx}{dt} = u$

これを行列形式で書くと、

$\frac{dQ}{dt}=AQ+S$
$Q=\left(\begin{array}{C}u\\x\end{array}\right)$
$A=\left(\begin{array}{CC}&0&-\frac{k}{m}\\&1&0\end{array}\right)$
$S=\left(\begin{array}{C}S\\0\end{array}\right)$

これの固有値ωはいうまでもなく、

$\omega = \pm i\sqrt{\frac{k}{m}}$

で、2つの基本解を構成する。

$\xi_1=e^{i\omega t}, \hspace{10mm}\xi_2=e^{-i\omega t}$

それぞれの基本解は、行列Qに戻したときに微分方程式を満たして、Q₁とQ₂の直和で出来た行列Xはやはりもとの微分方程式を満たす。

$\frac{dX}{dt}=AX$
$X=\xi_1\oplus\xi_2=\left(\begin{array}{CC}&\xi_t&\xi_2\\&\xi_{1t}&\xi_{2t}\end{array}\right)$

ここでXはWronski行列になっている。Wronskianを計算してみると2i\omega;になってるので、当然ながらxとuは線形独立である。
ここで、Xを非斉次方程式に戻してみる。

$\frac{d\tilde{X}}{dt}=A\tilde{X}+S\\ C_tX=S$
$\tilde{X}=CX\hspace{10mm}(C=C(t))$

ここで、Xの逆行列を左から掛けると、

$C_t=SX^{-1}$

なので、係数Cを積分することで求められる。2次の正方行列なので、Hamilton-Cayleyの定理から逆行列を求められて、

$C=\int_0^tdt\hspace{5mm}\frac{S(\tr(X)I-X)}{W}$
$W=\det(X)$

ここで、WはWronskianである。mimeTeXで数式打つのがだるいからまた明日。