無限区間での拡散方程式のFourier変換による解法

半無限はちょっと難しそうなので、無限領域で、しかもFourier変換をexp(ikx)でやってみる。これは学部の2年のときにやったから完璧だぜ!!と思いたい...
   $\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}=\frac{\partial \phi}{\partial t}\\ \{\array{\phi (x,0)=\delta (x) & \ \\ \phi (x,t)\rightarrow 0 &\text{at}\vspace{5mm}x\rightarrow 0\\ \phi_x (x,t)\rightarrow 0 &\text{at}\vspace{5mm}x\rightarrow 0}$
なんか解けそうな雰囲気をプンプンと醸してる方程式と初期境界条件だ。
っつーことで、次はFourier変換。
   $\scr{F}=\Bigint_{-\infty}^{\infty}dx\vspace{5mm}e^{ikx}\\ \scr{F}^{-1}=\frac{1}{2\pi}\Bigint_{-\infty}^{\infty}dk\vspace{5mm}e^{-ikx}$
としてみる。
で、実際にFourier変換してみる。これは簡単だ。と思いたい。
   $\Bigint_{-\infty}^{\infty}dx\vspace{5mm}e^{ikx}\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}=\underbrace{[e^{ikx}\frac{\partial\phi}{\partial x}]_{-\infty}^{\infty}}_{=0}-ik\Bigint_{-\infty}^{\infty}dx\vspace{5mm}e^{ikx}\frac{\partial\phi}{\partial x}\\=-ik\{\underbrace{[e^{ikx}\frac{\partial\phi}{\partial x}]_{-\infty}^{\infty}}_{=0}-ik\Bigint_{-\infty}^{\infty}dx\vspace{5mm}e^{ikx}\phi\}\\=-k^2\tilde{\phi}$
が左辺の変換。やっぱ指数関数の方が積分は楽な気がする。オイラーは偉大だ。
で、結局波数空間での方程式は
   $-k^2\tilde{\phi}=\frac{\partial\tilde{\phi}}{\partial t}$
になる。
これはもう秒殺で、
   $\tilde{\phi}=Ce^{-k^2t}$
になる。ここで積分定数Cは初期条件に対応する訳ですよ。っつーか初期条件をFourier変換したものになるっす。
   $\Bigint_{-\infty}^{\infty}dx\vspace{5mm}e^{ikx}\delta (x)=1$
なので、波数空間での解は、
   $\tilde{\phi}=e^{-k^2t$
になる。
これを逆変換で元に戻す。
   $\phi =\scr{F}^{-1}[\tilde{\phi}]=\frac{1}{2\pi}\Bigint_{-\infty}^{\infty}dk\vspace{5mm}e^{-ixk}e^{-ik^2t}=\frac{1}{2\pi}\Bigint_{-\infty}^{\infty}dk\vspace{5mm}e^{-$k^2t-ixk$}$
この積分は誤差関数の積分公式から積分することが出来る。
   $\Bigint_{-\infty}^{\infty}d\alpha\vspace{5mm}\cos (\alpha x)e^{-\kappa\alpha^2t}=\sqrt{\frac{\pi}{\kappa t}}e^{-\frac{x^2}{4\kappa t}$
でまあ、上の解はまんま誤差関数の積分の形になってるんで、
   $\phi =\sqrt{\frac{\pi}{t}}e^{-\frac{x^2}{4t}$
になる。っつーか基本的なことって暫くやらないと忘れるっすねー。
とかいいつつ最後にこれやったのは2年前なんだけどねー。でもやっぱ偏微分方程式を真面目に解こうっていうのはそれなりに大掛かりなことなのでよほどのことがない限りやらない訳っすよ。そりゃしゃーない。
っつーかこの計算は暗算でやってるんで、計算間違いがあっても許してね。っつーか間違えている自信がある。大いにある。だから、これは当てにするな。