正規直交とか

数学

ついでながら、デルタ関数で忘れてたことがあるんで、それの補遣。
二つのベクトル(別に空間でもいい)の正規直交性は次のように定義される。
  a_ib_j=\delta_{ij}
ここで、
  \delta_{ij}=\{\array{1 & (i=j) \\ 0 &(i\not= j)
で、これをただの代数計算から関数まで考え方を広げる。特に波数空間は正規直交だというのが有名で、例えば、それは内席計算として一周期分の積分を考えることで議論が出来る。つまり、三角関数が正規直交関数かどうかは
  \Bigint_{-\pi}^{\pi}dx\vspace{5mm}\sin (mx)\sin (nx)
の結果がクロネッカー(Kronecker)のデルタかどうかで判別をつけられる。
m=nのとき、
  \Bigint_{-\pi}^{\pi}dx\vspace{5mm}\sin (mx)\sin (nx)=\Bigint_{-\pi}^{\pi}dx\vspace{5mm}\sin^2(mx)\\=\Bigint_{-\pi}^{\pi}dx\vspace{5mm}\frac{1}{2}\(1-\cos (2mx)\)\\=\frac{1}{2}[x-\frac{1}{2}\sin (2mx)]_{-\pi}^{\pi}\\=\pi
になる。まあこの時点で、正規直交ではなくなったが、直交関数である芽はまだある。ってことでm≠nのとき
  \Bigint_{-\pi}^{\pi}dx\vspace{5mm}\sin (mx)\sin (nx)=\frac{1}{m}\underbrace{[\cos (mx)\sin (nx)]_{\pi}^{\pi}}_{=0}-\frac{1}{mn}\Bigint_{-\pi}^{\pi}dx\vspace{5mm}\cos (mx)\cos (nx)\\=-\frac{1}{m^2n}\underbrace{[\sin (mx)\cos (nx)]_{\pi}^{\pi}}_{=0}-\frac{1}{m^2n^2}\Bigint_{-\pi}^{\pi}dx\vspace{5mm}\sin (mx)\sin (nx)\\ \(1+\frac{1}{m^2n^2}\)\Bigint_{-\pi}^{\pi}dx\vspace{5mm}\sin (mx)\sin (nx)=0
で、まあ三角関数は√πの逆数を掛けると正規直交になることが分かった。っつーか思い出した。