非定常Bernoulliについての覚え書き - Sλの日記 --うつろな日々--

渦無し非圧縮では速度ポテンシャルを定義できるんだが、その定義はポテンシャルの減少に対して速度が増加するとか、確か向きを逆にするって言うのがあって、
   $\vec{u}=-\text{grad}\phi$
だった気がする。
これは流体に限らず、電磁気でも普通の力学でもそうだった気がする。まあ別に正負の問題はそれ程気にしなくても良いと言えば良いんだが。電流も正極から負極に流れることになってるけど、電子は負極から正極に流れてるし、向きなんて最初に言い出した奴が適当に決めてるんだよなきっと。
日常生活でも、「潜在能力」の意味でポテンシャルっていうことがあるけど、俺はどうしても測定に掛かる何らかのベクトル量を捻り出す量というイメージがあるんで、「ポテンシャルがある」っていう使い方に慣れられない。っつーかポテンシャルは使ったら無くなりますから。
と考えるとポテンシャルあるっていうのはあくまで崖の上で谷間を人が通るのを待ってて石投げる状態なんだよな。
で、下に人が通り過ぎたら、ポテンシャルを持ってる石を下に落とす。そうすると重力に対して持っていたポテンシャルが運動エネルギーになり、下を歩いてる人にぶちあたって、その肉体を壊す仕事をするわけだな。
ということで、一回投げた石は最早ポテンシャルはもってなくて、運動エネルギーを持ってる状態になる。
それから非保存量をブチ撒ける物体というか、領域に侵入すると熱になって散逸して仕舞う。
ということで、ポテンシャルっていうのは消えてなくなることもある。ということで、人間の能力に当てはめるのは俺的には無理っす。まあ英語の辞書見たら、「可能性のある」って書いてあるから物理の方でのポテンシャルっていうのはマイナーな使い方なんだろうけど。

何か色々調べたら別にポテンシャルはどっち向きに取ろうがあんまし問題ないことが分かった。
取り敢えず、重力とかの外力に対してもってるポテンシャルは負号をつけるらしいが、渦無しのような数学的な条件から決まるものは特に符号をつける必要は無いらしい。要は好き好きということなんだろうか。良く分からない。まあみんなが使ってるのを俺も使えば良いわけだが。
なんつーか、要するにBernoulliどうするかってことだが、渦無し非圧縮だと簡単に運動方程式が積分できるんで、適当にやっちまう。
   $\frac{\partial v_i}{\partial x_i}+u_j\frac{\partial v_i}{\partial x_j}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_i}\\ \frac{\partial^2\phi}{\partial t\partial x_i}+v_j\frac{\partial v_j}{\partial x_i}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_i}\\ \frac{\partial\phi_t}{\partial x_i}+\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_i}v^2=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_i}\\ \phi_t+\frac{v^2}{2}+\frac{p}{\rho}=0$
っていうことらしい。
今の場合は渦無しの場合から一番簡単に決まるポテンシャルを採用した。要するに、
   $\nabla\times\nabla\phi=0$
から決まるポテンシャル。
上の式で決まるベクトル場については、
   $\vec{u}=\nabla\phi$
で決められてるからやっぱ正か。まあどーでもいいか。結果を逆さにすれば良いだけの話なんで。とかいい加減なことを書くと怒られそうだ。