Bessel方程式をLaplace変換で解く

数学

別にLaplace変換である必要は特になくて、なんらかの積分変換をして積分方程式に出来れば良いのです。
でも取り敢えず、方程式の解φに対して、Laplace逆変換されたのをTにして、
  \scr{L}=\Bigint dt\hspace{5mm}e^{-zt}T
として、tは複素数だと思い込むと、Bessel方程式が、
  z\phi_{zz}+\phi_z+z\phi=0
なので、これを上の変換にぶち込むと、
  \Bigint dt\hspace{5mm}e^{-zt}(zt^2-t+z)T=0
で、これを部分積分する。どういうことかというと、積分の中からzを消すわけです。すると、
  \Bigint dt\hspace{5mm}e^{-zt}(zt^2+z)T=-[e^{-zt}(t^2+1)T]+\Bigint dt\hspace{5mm}e^{-zt}\frac{d}{dt}(t^2+1)T
積分区間を±iか、無限遠にとると前にくくりだされたのは0に収束するので、ここで今考えてる積分変換の積分経路はそういう風なもんだということにしておきます。
そしてこれを元に戻すと、
  \Bigint dt\hspace{5mm}e^{-zt}\left\{\frac{d}{dt}(t^2+1)T-tT\right\}=0
で、これからTについての方程式が、
  \frac{d}{dt}(t^2+1)T-tT=0
になります。これを解くと、
  T=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}
になり、解が、
  \phi=\Bigint \frac{e^{-zt}dt}{\sqrt{1+t^2}}
になります。これのあとgdgdやってくと馴染深いのが出てきます。