Galerkinのスペクトル法 - Sλの日記 --うつろな日々--

まあね、ただの直交関数展開なんですがね、覚え書き程度に。
独立変数がx, tの未知変数f(x,t)があって、それに微分作用素Lが掛かって偏微分方程式、
   $\scr{L}[f(x,t)]=b(x,t)$
があるとする。
これを多項式の線形和で表すとすると、
   $f(x,t)\simeq F_N(x,t) = \sum_{n=1}^N a_n(t)\phi_n(x)$
であるとして、これを微分方程式に代入すると、
   $\sum_{n=1}^N\scr{L}[a_n(t)\phi_n(x)]=b(x,t)$
ここで、内積をとってa_nが分かれば近似解が求まるので、
   $\Bigint_a^bdx\hspace{5mm}\phi_m$
を左から掛けると、
   $\sum_{n=1}^N\scr{L}\left[a_n(t)\bigint_a^b\phi_m\phi_ndx\right] = \sum_{n=1}^N\phi_mb(x,t)$
になる。
ここで、内積の書き方を、
   $(\phi_m,\phi_n)=\Bigint_a^b\phi_m\phi_ndx$
と決めると、微分方程式は、
   $\sum_{n=1}^N(\phi_m,\phi_n)\scr{L}[a_n(t)]=\sum_{n=1}^Nb(x,t)\phi_m$
になる。
これによって0n(t)]のNこになるので、L[a_n(t)]が基地になる。ここで、L[a_n(t)]が積分できるとすると、離散スペクトルa_n(t)がわかるので、これよりN次の近似解が得られる。というのがGalerkinのスペクトル法らしい。何かFourier変換で波数空間で偏微分方程式を解くのに似てる。というか、方法としては全く同じか。それが連続スペクトルなのか、離散スペクトルなのかの違いがあるくらいで。何でかって、直交多項式はStrum-Liouville問題の解だからだったようなそうでないような。固有値問題っすからねと。あんまし要らんことを書くと馬脚をお見せすることになるのでこれ以上はあれだけど。まあ、なんだか面倒な方法だなあ。有限要素法もこれ使ってると考えると、あれってすげー複雑なスキームなんですね。そりゃパッケージ使った法がはえーよな。