球形膜の振動運動について

膜振動って、一応Laplace方程式系の解で、球座標の場合については学部でやるんだよな。で、確か、こういうときは球座標系を使うと便利ですねってやるんだよな。内部問題と外部問題とか、なつかすぃ。今俺がやってるのはにたような問題なんだが、学部レベルではbreathing modeの振動しかやらないんだが、今は表面の変形も考えてて、このばあいLegandreの表面調和関数とか何とか出てきた気がする。
まあ要するに球形膜の表面張力波を考えるんだが、それにはYoung-Laplace方程式を使う都合上曲率半径が入って来る。材力のたわみだとかなんだでも、方程式が複雑になるのは曲率半径が応力と構成則によって結ばれるからだったきがする。まあ材料力学の学部レベルの話では高次の項は無かったことにしてるから、モーメントと歪と慣性うんちゃらだけの方程式になって、阿呆でも積分を続ければ解ける問題になってる。どーせあんなもんn点の負荷、若しくは、n個の分布荷重に対して、それぞれn次、n+1次のべき級数になるんで、最初から答えが分かってるようなもんだわな。公務員試験受けたとき(落ちたけど)は材力はウハウハだった。境界条件見ただけで答えが分かって、解答の部分が少ないから、解き方は問われていないことを察知して、「上の境界条件を適用して」とか書いて、あとは帳尻合わせて終わったからなあ。っつーことで、一次は通過したが、いかんせん面接で落ちた。何かこんなこと書くと人格が破綻してるかのように思われるかも知れないが、要するに緊張してたんだYO!!
っつーことで、この世は弦の長さとか、曲率半径とかを考え始めるとこれでもかって位問題が難しくなるのです。
あー流体と数学のエントリだから、一応式でも書くか。
Lambの仕来りによると、曲率半径は
  
になるらしい。ここでnは表面に対しての法線ベクトル。これは微分幾何の話っぽいな。法線ベクトルは、表面の方程式、r=r(θ,φ,t)で、これの仮想変位とでもしておくηとの差の勾配を取ったもので、
  
になる。これを上の曲率半径の式に入れると、まあややこしいわな。っつーことで、今日はこの問題はこれまでにするっす。