圧縮性流体のいくつかの基本的な性質

流体力学

これまでずっと波とか非圧縮性とか扱ってきたので、気体についてほぼ無知だったので、勉強し直しています。熱機関やるにはこれをしらないと話にならない感じっぽい。

臨界流速とか流量の極大とか

圧縮性がある場合には流量と流速は一次の関係に必ずしもなる訳ではないっぽい。非圧縮性流体でも密度以外に一様な場合にはその限りではないのだけど、圧縮性流体では密度変動もあるので、


Q=\rho u

としたときに、uが一定だからといって、Qが一定とも限らない。変数が増えると大変です。

その次に、じゃあ、流量は流速に対してどのような挙動をとるかというお話。
流量を、簡単に考えるために、質量流束で考えると、質量流束の流速についての微分を考えればその挙動を見ることができて、


\frac{d\rho u}{du}=\rho+u\frac{d\rho}{d u}

なのだけど、流速と密度の関係を音速の公式から考える。
つまり、音速はc2=dp/dρなので、

d\rho=\frac{dp}{c^2}

で、また、定常の一次元の運動方程式がudu=dp/ρなので、

dp=\rho u du

になって、まとめると、

\frac{d\rho}{d u}=\frac{\rho u}{c^2}

なので、

\frac{d\rho u}{d u} = \rho \left(1-\frac{u^2}{c^2}\right)

になる。

で、これを一回微分すると、uが正のときには上に凸なのがわかり、かつ、u=cのときに極値をもつのがわかるので、u=cのときに質量流速が極大値を持つのが分ります。極大にして、最大。
なので、音速を境に流速と質量流束の間の関係に変化が現れる。
亜音速のときには、質量流束は流速が増加すると増える。これは直感的な流れについての話と同じイメージ。
超音速のときには、質量流速は流速が増えると減少する。これは直感とは反する現象。今、管がつねに同じ径であるとするとこのような話になる訳だけど、これが管径が変化する場合には、超音速の場合と亜音速の場合で様子が変わってきます。

今、連続の式から、


Q=A\rho u

で、Aを管断面積だとして、亜音速のときには、管の断面積が小さくなると流速は増加するけど、超音速のときには流速は減少するというお話。
また、流速が上がっても、質量流束が極値を持つので、ある流量以上はながせませんということが分ります。で、その最大の流量っていうのは流速が音速のときの流量で、これが臨界流量とかいうお話。また、流速が減るっていうのはラバーズノズルのことですかね。

衝撃波越しの連続量

衝撃波の波面をある境界にして、そこの境界条件を考えると、衝撃波っていうのはおそらく流速とか、密度とか、圧力とかの物理量が不連続な状態。じゃあ、境界越しに連続であっても許される量がなにかというと、質量流束、運動量流束、エネルギー流束で、衝撃波の手前が1で、後が2として、


[\emptyset]=\emptyset_1 - \emptyset_2

などというお約束をすると、それぞれの保存則は、

[\rho u]=0
[\rho u^2 + p]=0
\left[\rho u \left(\frac{u^2}{2}+h\right)\right]=0

になる。

で、u1=u2=0のときにはなんでもかんでも0になる自明な解が得られて、別にどーでもいー。
そうでない場合は、色々とくちゃくちゃ計算すると、


[\rho u]=0
[\rho u^2 + p]=0
\left[\frac{u^2}{2}+h\right]=0

が衝撃波越しに連続になる。ここでhエンタルピー。

今日の筋トレ

筋トレ

体幹が弱いので、ランジとデッドリフトをフォームを確かめつつ。ウェイト小さくても真面目にやるとデッドリフトってきっついな。まあ昔に比べて筋肉が減ったからなんだろうけど。
あと、膝が微妙に痛いので痛みを確認しつつ。

  • ベンプレ
    • 50kgx(7+6+7)
  • ランジ
    • 25kgx10x3
  • デッドリフト
    • 25kgx10x3
  • 三角筋
    • 7.5kgx10x3(ウェイト使って)
  • アームカール(マシン)
    • 10kgx10x3

1階偏微分方程式の境界値問題について

流体力学 数学

例えば、未知変数をuとして、こんなのを考えてみる。


\frac{\partial u}{\partial t} + c\frac{\partial u}{\partial x} = 0,

だとしてみる。初期境界条件は、適当に考えてみる。

u|_{t=0}=W(x),
u|_{x=0}=U_0(t),
u|_{x=L}=U_L(t),

これをFourier-Laplace変換してみる。積分核は、

\scr{L}=\int_0^L dxdt\hspace{5mm}e^{ik(x- ct)},


なんて考えてみる。
で、境界条件とか考えないで積分核を作用させてみると、

ik(\tilde{u}+\hat{u})=0,
\tilde{u}=\scr{L}u,
\hat{u}=\scr{L}u,

になるわけだけど、境界条件やら初期条件を考えるときは部分積分のところで初期条件と境界条件を使うんだった気がする。
試しに、空間的な変換を試みると、

\tilde{u}_t+c\int_0^Ldxu_x=0,
\tilde{u}_t+c\left\{\left[ue^{ikx}\right]_0^L-ik\scr{L}u\right\}=0,
\tilde{u}_t+c\left\{U_Le^{ikL}-U_0-ik\scr{L}u\right\}=0,
\tilde{u}_t+c\left\{U_Le^{ikL}-U_0-ik\tilde{u}\right\}=0,

なんてなって大変面倒臭い。これを時間について解けたとすると(時間についての変換をする気がなくなった)、

\tilde{u}=-\int_0^{\infty}dt\hspace{5mm}c\left\{U_Le^{ikL}-U_0-ik\tilde{u}\right\}

なんてなる。で、これをまた逆変換するんだろうか。またはeigentropicな問題にここから持ち込めるのか。eigenproblemにするには非同次方程式になるし、積分するにも少々面倒臭いなあ。これだと波動方程式の固有値問題を山行にした方が良いのだろうか。なのでLambの本が欲しい。

1次元の移流方程式をMUSCL使って解くことについて

流体力学 数値計算

それなりに前から仕事の合間に圧縮性のコードを解こうとしてるんだけど、まあMUSCLが多いですから、それ使おうとしてます。で、1次元の移流方程式を解こうとしてるんですが、そもそも衝撃波の問題を解くには質量保存と、運動量保存と、エネルギー保存の3つの保存則を解くんだけど、それに至るのに1変数の問題を解くのになんか意義があるんだろうか。
いや、あるんだけど、なんかもう俺みたいな休日だけコードを組むようなのがこんな悠長なやり方でいけるのか謎。どっかにコードが転がってればそれ使いたいんだけど、やっぱ自分で書いた方がすべてを分って使える訳で悩みはつきません。
結局は、


\frac{\partial Q}{\partial t} + \frac{\partial F}{\partial x} = 0,

を解くのに、流束FをF=UQにして、流束と差分を分離して、格子の間の不連続を2次関数で補完しますみたいなことなんだけど、

Q_{n+1} = Q_n - \frac{\Delta t}{\Delta x}\left(F_{i+1/2}-F_{i-1/2}\right),

という差分の流束を、離散化した格子の境界上で補完する。

F_{i+1/2}=\frac{1}{2}\left\{F(Q)^R_{i+1/2}+F(Q)^L_{i-1/2}-|U_{i+1/2}\left(Q^R_{i+1/2}-Q^L_{i-1/2}\right)\right\},

φを任意の変数とすると、色々とあって空間的な補完は、

\emptyset^R_{i+1/2}=\emptyset_{i+1}-\frac{1}{4}\left\{(1-\kappa)\bar{\Delta}_+|_{i+1}+(1+\kappa)\bar{\Delta}_-|_{i+1}\right\},
\emptyset^L_{i+1/2}=\emptyset_{i}+\frac{1}{4}\left\{(1-\kappa)\bar{\Delta}_-|_{i}+(1+\kappa)\bar{\Delta}_+|_{i}\right\},
\bar{\Delta}_+|_i=\text{minmod}(\Delta_+, b\Delta_-),
\bar{\Delta}_-|_i=\text{minmod}(\Delta_-, b\Delta_+),
\Delta_+=\emptyset_{i+1}-\emptyset_i
\Delta_-=\emptyset_i-\emptyset_{i-1}

なんてかける*1。

これが1変数のときで、3変数になると、そもそもが、支配方程式が、


\frac{\partial Q^j}{\partial t}+\frac{\partial F^j}{\partial x}=0,

になって、これを解こうとすると、

Q^j_{n+1}=Q^j_{n}-\frac{\Delta t}{\Delta x}\left\{F^j_{i+1/2}-F^j_{i-1/2}\right\},

になって、まあ色々とあって、流束差分離なんてすると、

F^j_{i+1/2}=\frac{1}{2}\left\{F^j(Q)^R_{i+1/2}+F^j(Q)^L_{i+1/2}-|U^{jk}_{i+1/2}|\left(\left.Q^k\right.^R_{i+1/2}-\left.Q^k\right.^L_{i+1/2}\right)\right\},

になるわけだけど、やっぱここで2次関数で補完するのとか、制限関数のサブルーチンとか、その辺のものを作らないといけない訳だから、これはこれでやっぱり意味のあることなのだとやっと気がついた。因に上の式では添字kについてEinsteinの縮訳記号を使ってます。
それにしてもまだまだ先が長い。

*1:minmod関数を制限関数に使ったとき。slopeは核の面倒なのでスルー。東大の藤井先生の本なんかに詳しく載ってます。まとまりが悪いし、誤記があったりするけど、日本語で書いてある数少ない本のうちの一つではある。

飯豊山行4日目(8月11日): 梅花皮山荘-飯豊山荘(下山)

山

石転び沢は断念して梶川尾根から下る。で、朝目が覚めたらやっぱ快晴だった。小屋番のおっちゃんと台風くるんでしょ、嫌だなあとかいってたんだけど、まあ嵐の前の静けさなのかもしれない。
水は前日の御西でとったものがまだ残ってたので、それを持って先を急ぐ。門内小屋へ着いたらそこは新潟県で、小屋番は新潟の人なのでほぼ標準語である。なんかもう下山するふいんきである。そこで小休止して、梅花皮を望んで、下る。梶川尾根は途中までは緩やかな下りっぽい。で、余裕があるうちに時間を稼ごうと緩やかな下りは走る。景色もいいんだろうが、下りは嫌いなので、殆ど景色は見ない。そして飯豊山が遠ざかり、どんどん下界に近づいていく。本当は山の上で暮らしたいものだけど、諸々の資源の関係と、浮き世に暮らすものの道理としてどうやらそれは無理らしい。こんなことなら学生のときにどっかの山小屋でバイトでもしてれば良かった。
とか考えてるうちに梶川峰(1692m)へ着く。コースタイムが梅花皮山荘から5時間に対して、4時間の行程で、やっぱ平地なら荷物持ってても速く歩けるらしい。まあ終盤で荷物も大分軽かったんですがね。で、楽勝と思ってたんだけど、そこから急に下りがキツくなる。
それは等高線をみれば分ってたことなんだけど、下りが嫌いな俺様は見て見ぬ振りをしてた。で、もうそこからずっとほぼ泣きそうになりながら下った。途中次郎清水という水場で水を汲んだけど、そこの水場への道がまた最悪で、ここも泣きそうになりつつ水を汲む。そしてもう記憶をなくすくらいかったるい下りを経て、バス停のある飯豊山荘へ着く。で、着いたら着いたで虻がよってきて、また泣きそうになりながら飯豊山荘へ逃げ込んだ。虻とクソ下りから解放されて、下界へ下る憂いも気がついたら晴れていた。


飯豊山荘で風呂に入って、蕎麦を食う。
温泉なんだけど、風呂場の目の前で便所の汲取をしてて臭かった。でも風呂場の窓から梅花皮当たりがよく見えた。雪渓がまだちょっとだけ残ってた。
蕎麦はまあ普通の田舎そばだったけど、久しぶりにおいしいそばを食べた。そしてだらだらと蕎麦すすって、水飲んで、飯豊山の見事な写真を眺めたり、老人山岳会の内輪もめとかを聞いて、バスに乗った。
まあ小国村はそこそこに田舎で、またバスの中で帰りたくねーとか、思った。で、小国駅がまた素敵な田舎の駅で、蕎麦だけじゃ腹が減るんで、駅前でラーメン屋があったんでラーメン食おうとしたらまだ営業してないとかいわれた。もっとやる気出して商売してほしいものである。因に飯豊山荘から小国駅への最終バスは15:50くらいである。これ大事。
そして小国線で米沢へ行ったけど、米沢からの新幹線が雨で遅れててまあなんかもう名感じだった。こうして僕はまた俗塵に塗れた下界へ帰ってきたのでした。本当は米沢牛の焼き肉を氏ぬほど食いたかったんだけど、乗り換えの都合で無理だった。

飯豊山行3日目(8月10日): 切合小屋-飯豊本山-御西小屋-梅花皮山荘

山

前の日の夜にへろへろになって、6時くらいにシュラフにくるまってぼーっとしてたら寝落ちしてて、目が覚めたら朝の3時だった。9時間も寝ていたらしい。
まだ眠いのでゴロゴロして、いい加減にテントから出てインスタントラーメンを作って食う。2袋。
ついでに昼のためのコッヘル弁当を作る。昼飯ごときに時間をかけると体が冷えるし、時間のロスにもなってあまり好きではないので独行のときは昼は専らコッヘル弁当である。最近は色々と炊きたてご飯に混ぜるだけでそれなりになるものがあって有り難い。取り敢えずチキンライスなんてのはとてもお手頃である。
そしてテン場から小屋の前の賽の河原へいってご来光を拝んでみる。人が沢山いる。百名山を目指してる人も沢山いる。
適当にメシ食って出発する。
切合小屋をでていきなり登りでかったるい。ほぼ寝起きから心拍数ががっつり上がる。そろそろいい加減に標高も1700mあるので息が上がりやすい。岩場がないと空荷のおっちゃんらとほとんど同じ速度で登れる。じいちゃんばあちゃんはぶち抜いていける。
そして切合小屋で手すぐの小ピークを過ぎたら数カ所ほど岩場があった。子供連れのかあちゃんが難儀してた。ガキンチョが岩場登るのを助けてみた。本当は自分で行った方が楽しいんだろうが、子供の手足の長さにはどうにも手に負えない岩である。少しだけいい人になった気分だけど、先に行ってもらわないことには俺が先に行けない。
その辺りからずっとすかっ晴れで飯豊山がよく見える。
標高が1900mくらいしかないところでも雪渓や、雪田が残ってるのはやっぱ東北だからなんだろうなあ。そしてハイマツがずっと茂ってる。森林限界が低いのかはよくわからないけど、気温と緯度から決まる森林限界は東北の場合は2000mくらいな気がする。北アルプスが2500mくらいで、北海道が1500mなので、その間くらい。でもハイマツが多いのは風が強いからなのかとか思ったりするけど、あんまし詳しくないので全て憶測である。


切合小屋から飯豊本山までの間、姥権現というお社の小さいのがあって、そこで地元のおっさんに話しかけられた。東北弁が妙にはまる。どうやらおっさんはよく飯豊山へくるらしく、姥権現のご利益を解いてくれた。
家内安全、安産祈願のお社で、取り敢えず家庭に関することは全て姥権現の領分で、五穀豊穣は飯豊本山の領分らしい。
ここで前述の通過儀礼について聞いて、まあ世の中色々とあるもんだと思ったりする。
おっさんがいうには、その日のような快晴は滅多にあるものではないらしく、しきりに珍しがっており、僕のことを運がいいといっていた。確かに飯豊山は虻さえいなければ良い山で、何度でも来たいのだけど、アクセスのしにくさからこれからの人生であと何度登る機会があるか考えると、ひょっとしたらこの天気の条件で登れるのは今回が最初で最後かもしれないと思った。


そこから飯豊本山へはだらだらしてたら着いた。
本山小屋は小さい小屋で、飯豊山神社にお参りしようとして、小屋番を探したけど誰もいなかった。ので、適当にスルーした。そしてちょっといったところにまたお社があった。
お社で切合であった人らがいた。みんな飯豊本山まででピストンらしい。みんな昼飯を食ってたけど、僕はもう少し頑張って先を目指した。カメラ落としたとか、地図落としたとか、みんなほとほと適当である。
そしてそこから御西岳を目指す訳だけど、なんてことはないけど、景色の良い稜線をちんたらと歩く。ここまでくると流石に人とほとんど会わない。そして気がついたら御西岳を通り過ぎて御西小屋へついてた。そのくらいなだらかで、八幡平を自転車で上ったときに受けた、東北の穏やかな山容を改めて実感する。道中お花畑とハイマツと雪田を望みながらほぼ平坦な稜線を歩く訳だけど、クソ登りを登ってきた甲斐があるというものである。
御西小屋で丁度水が切れたので、水場へ水をとりにいく。どうやらここの水が一番美味い。ただ、道が微妙に良くない。そして昼飯を食う。
時間があればここでテンパって、大日岳へピストンして翌日梅花皮へいくところだけど、後が詰まってるのでここはスルー。ここの小屋番のおっちゃんは山形の人だったんだろうが、殆ど訛がなかった。ここまでで東北弁にだいぶ慣れてきたので拍子抜けする。




そこから梅花皮を目指してまたタラタラと稜線を歩く。
飯豊本山の主稜線を外れて、気分的にも下山モードでそこはかとなく後ろ髪引かれる。できればもう数回御西から切合まで歩きたい。そしてやっぱ人と殆どあうことなくタラタラ歩く。この辺りになると大分肩に疲労がたまってきて、ザックを背負うのがしんどくなってくる。
というのも、それまでのトレーニングの登山では軽い荷物を適当に背負ってたので、重いザックを腰に負荷をかけて真面目に背負うなんてことはしないで、専ら肩で背負ってたのでそれがついに限界まできたっぽい。もうかなりいい加減に背負って歩いた。
そしてこの辺りは稜線が細く、多少おっかない箇所なんかもあったりした。おまけに昼を過ぎてガスっぽくなってきて、さっさと梅花皮までいかないと氏ぬなんてビビりつつあるいた。景色はそれなりに良いんだろうけど、それよりも天候の変動に気が気じゃなかった。それでもたまに雲が切れたときの飯豊連峰の稜線はまた壮観だった。
そこから数度取りかかりの分らない風情な雪田を軽くトラバースする。初心者じゃなくてよかったとおもう瞬間である。そして、やっぱり気がついたら梅花皮山についてた。結局のところ難所というとこはほぼなく、雪田だけが少し厄介だった。そして飯豊本山からこのかたやっとまともにピークらしいピークで山と名前のついているものに出会った感じである。そこからちんたら下ると梅花皮小屋で、この時点で既に雲行きがかなり怪しいので、さっさとテンパろうと思った。小屋番のおっちゃんは惚れ惚れするような奇麗な山形弁使いだった。ビールを飲みたかったけど、そんなもん飲む元気もなく、取り敢えず記帳して、次の日の下山ルートを聞いてみた。
石転び沢について興味があったのだけど、おっさんに聞いたところ、斜面が急なので下りはほぼ不可能なことと、今年は暑くて雪が少ないのでガレガレだからたとえ登りでも相当時間がかかるらしい。まあ確かにああいうところなら雪渓をキックステップで登るのが良かろうなあ。ただ、石転び沢でいくと相当ショートカットできるのでそれはそれで魅力的ではあった。今度はこっちから登ろうかなあ。まあ連休当たりから夏休み前を狙わないといけないんだろうが。
そしてテンパってたら小屋番のおっさんにさっさとテントはいんねーとブヨが湧くっていわれた。実際見る間にブヨが集ってきて、全身血まみれになるとこだった。取り敢えずタオルぶん回したりしてみた。まあこの辺りになったら虻もブヨも集るだけ集ってもらって全く気にならない。痒いけど。
そしてカレーを食って、またテントでぼーっとしてたら寝てた。

コースタイムと実際の時間

  • 切合小屋-飯豊本山: 6:00発-10:00着、3hr(コースタイム2hr20min)
    • 岩場で多少時間を食った
  • 飯豊本山-御西小屋: 10:15発-11:45着、1hr30min(コースタイム1hr15min)
    • 景色がいいのでちんたら歩いてたらコースタイム通りだった
  • 御西小屋-梅花皮山荘: 13:00発-16:00着、3hr(コースタイム3hr50min)
    • 天気が悪くなりそうだったので急いだらかなり早く着いた