波動方程式を変数変換して特性曲線上で解くというのは空間について1変数まではできるんですよ、そらで。でも2変数になると無理。空間について1変数だと、時間と合わせて2つの独立変数をもつ方程式で、変数変換ができるんですね。
例えば、波動方程式で、
とかいうのがあったとしたら、これが、
と変数変換すると、方程式が、
になります。これの意味するところは任意のyについてuは一定の値をとるということです。ということで、これの解は、任意の関数fを用いて、
という風に表されます。
これが3変数になるとどう変換するんだろうか。多分同じで良いんだけど。今度は特性曲線から特性曲面みたいのになるんだろうな。何かモンジュ錐とかやった気がする。でも考えることは同じで、2次元空間上をある波速で擾乱が伝播するときの時間tでの擾乱のある場所を示すようなものを考えれば良いに違いない。
ということで、空間についての独立変数が(x,y,z)ってあって、それぞれの方向の波速が、(vx, vy, vz)で与えられてるときは、
とかやって与えれば良いんだろうな。そして上の式が流れ関数みたいなものだと。この辺をもう少しきちんと書きたいんだが、もやもやしてて良く書けない。まとまらない。もう少し考えよう。
