たまに嵌る微分計算の蹴躓き

流体力学 数学

今旋回流の方程式の変分をとる作業をしているわけだが、ふと計算を立ち止まってみて、自分が
  \frac{\partial}{\partial \psi}[\frac{1}{2}\(\frac{\partial \psi}{\partial y}\)^2]
なんていう計算が出来ないことに気が付いた。結果は、
  \frac{\partial}{\partial \psi}[\frac{1}{2}\(\frac{\partial \psi}{\partial y}\)^2]=\frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2}
になるらしい。たまにこういうの嵌るっす。


あーそうだ、変数変換するのだ。阿呆だ俺。


正解は、
  \frac{\partial y}{\partial \psi}\frac{\partial}{\partial y}[\frac{1}{2}\(\frac{\partial \psi}{\partial y}\)^2]=\frac{\partial y}{\partial \psi}\frac{\partial \psi}{\partial y}\frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2}=\frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2}
ですた。
阿呆ですた俺。こんなの学部2年生ですら引っかかんないような問題なのに...orz


つーかこれの後の説明がゲロ吐くほど難しい...
  \delta S(\eta)=2\pi \rho \Bigint_0^ady[\frac{\partial H}{\partial \eta}-\frac{1}{2y}\frac{\partial I}{\partial y}-\frac{\partial^2 \eta}{\partial y^2}]\delta \eta
で、これの被積分関数についていろいろな妄想を掻き立ててある位相空間上での曲線群について論じてるんだが、わっけわっかんねーっすよ。


つーかね、二次の変分とか、Jacobiのaccesory functionなんて知りません。もう駄目。ついてけない。