現実逃避

数学 流体力学

学会の概要、つっても高々200字なんだけどさ、書くのが嫌で嫌で、でも明日までに書けば良いからっていうので、これから積分するっす。あとTAの書類も出さないといけないんだよなあ。もうすこし物覚え良くなりたい。


やっぱ無理関数の積分はヤクいっす。
面倒臭いよ。変数変換を結局3回やることになるハメになったっすよ。そもそもはKdV方程式の変形した奴で、
  u_{\xi}=\pm\frac{1}{\mu}u\sqrt{c-\frac{u}{3}}
だったんだが、これを
  u=\frac{3c}{f^2}\\ u_{\xi}=-6cf_{\xi}f^{-3}
を使って、
  f_{\xi}=\mp\sqrt{\frac{c}{4\mu}}\sqrt{f^2-1}
になる。
この無理関数は、昨日の目論見どおり、変換前と変換後の関数をまぜこぜにするような変換をすることで有理化できる。実際には、数学公式集によると、
  \sqrt{f^2-1}=(f+1)t\\ t=\frac{\sqrt{f-1}}{\sqrt{f+1}} \\ t^2=\frac{f-1}{f+1} \\ f=\frac{1+t^2}{1-t^2} \\ \frac{df}{dt}=-\frac{4t}{(1-t^2)^2}
になる。っつーか、この計算だけでもかなり疲れる。そしてこれを上の方程式にいれる。
  \frac{2dt}{1-t^2}=\pm\sqrt{\frac{c}{4\mu}}d\xi
で、ここまでくればあと少しっす。そして実はこっそり計算間違えを直したのはここだけの秘密だ。
最後のとどめを刺すっす。
  \left(\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}\right)=\pm\sqrt{\frac{c}{4\mu}}d\xi \\ \frac{1+t}{1-t}=e^{\pm\sqrt{c}{4\mu}\xi}\\ t=\frac{e^{\pm\sqrt{\frac{c}{4\mu}}\xi}-1}{e^{\pm\sqrt{\frac{c}{4\mu}}\xi}+1}
これでtをもとのuにもどすときっとKdVの解が出てくるに違いない。


因に上の計算は数ヶ所程計算間違いがありますが、最早直す気はありません。解けることが分かったんで。っつーか自力で解に辿り着くことが出来たからもういい。ここまでくればあとは双曲関数の公式集を見れば何とかなる。それに微分方程式も大学2年生でも解けるようなのだし。
でね、この計算のプロセスは教科書でははしょられてるんですよ、数行程で、この方程式は積分できてとかいって。それを埋めないと気が済まなかったからやっちったよ。っつーことで、この二日間は教科書の数行の行間を埋めるだけの二日間でした。不毛ですね!!