学部生は真似しちゃいけません

数学 流体力学

何となく波を書いてみようと思って勝手に問題を作った。Laplace方程式の。
極座標系で、初期値問題*1で、
\{\array{\phi (r_0,\theta)=0 & \phi_r (r_0,\theta)=1\\ \phi (r,0)=0 & \phi_{\theta} (r,0)=1}
とする。
で、波面φはあらかじめRとΘに変数分離しとく。変数分離定数はαとでもしとく。
すると、一般解が
  {\phi =(ar^{\alpha}+br^{-\alpha})(ce^{i\sqrt{\alpha}\theta}+de^{-i\sqrt{\alpha}\theta}}
で与えられる。
これに初期値をぶちこむと簡単に積分定数が求まって、
  \phi =\Bigsum_{\alpha}\frac{A_{\alpha}r_0}{2\sqrt{\alpha}}\{\(\frac{r}{r_0}\)^{\alpha}-\(\frac{r_0}{r}\)^{\alpha}\}\sin \sqrt{\alpha}\theta
になる。
詰まらん。
下らん。
期末試験にもならねー。
やっぱ境界値問題じゃねーと駄目だな。下らないお遊びに夜更ししちまったよ。
っつーか夜更しのお供にしてももちょっと増しな問題を考えりゃあよかった...orz
楽な条件にすれば簡単に解けると思って簡単な問題にしたら簡単すぎて得るものが余り無かったよ...OTL
明日は明日で工作の予定があるのに...俺何してるんだろ...OTZ

*1:ある点での値と傾きを与えるのが初期値問題で、境界値問題は二点での値を決める問題。初期値問題の方が解くのは楽。でも今回Laplace方程式の初期値問題は扱う価値が無いことが判明。やっぱ初期値問題は時間発展が絡む方程式系じゃないと美しくねーっす。なので学部生は真似しちゃいけません。