固有値が負の値を持つ条件 - Sλの日記 --うつろな日々--

行列の固有値が実数である場合、つまり固有方程式の判別式が正の値をとるときのことを考える。3次元だと面倒なので、2次元で考える。
$A=$\array{a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4}$ \\ \det|A-\lambda E|=(\lambda-a_1)(\lambda-a_4)-a_2a_3 \\ \lambda^2-(a_1+a_4)\lambda+a_1a_4-a_2a_3=0 \\ \lambda=\frac{1}{2}\{a_1+a_4\pm\sqrt{(a_1-a_4)^2-4a_2a_3}\}$
という風に任意の二次の正方行列の固有値が求まる。
ここでこの固有値が正の値をとる場合について検証する。
上の複号で-をとるときがどうやら負の値をとりそうなので、その場合の条件を考えると、
$a_1+a_4-\sqrt{(a_1-a_4)^2-4a_2a_3}\lt0 \\ (a_1+a_4)^2\lt(a_1-a_4)^2-4a_2a_3 \\ a_1a_4\lt a_2a_3 \\ \det|A|\lt0$
という風になる。
やっぱ線形代数面白い。っつーことで行列式の符号が分かると固有値が負の値をとるかも知れない可能性について検討することが出来るのですね。いやー面白過ぎです。これで行列式が0になったら対角化不可能とかね、良くそういうの見付けるなあって感じです。
昔学部のころこんなことやってもあーそうなるねーって思うだけで面白くも何ともなかったんですが、今になって実際に自分で問題を解く側に回ってみるとすげー面白いです。