Rayleigh-Plesset

流体力学

泡の界面の非線形振動の方程式です。
特異摂動法を使って泡の界面近傍についての速度ポテンシャルを解くと、大人の事情で任意の時間についての関数f(t)を使って、
  \phi=\frac{f(t)}{r}
とかなります。
また、圧力方程式*1から、圧力は、
  \frac{\partial \phi}{\partial t}+\frac{1}{2}u^2 = \frac{1}{\rho}(p-p_{\infty})
で、泡の運動学の条件は、泡の径をR(t)とすると、
  \frac{\partial R}{\partial t}=u
で、力学的な条件は、表面張力と気泡の中の圧力から、
  p=p_B-\frac{\Gamma}{R}
になります。
これに上の解をそれぞれ代入すると、
  R_t=\frac{f}{R}\\ f_t = -\frac{R}{2}\left(\frac{f}{R^2}\right)^2 -\frac{1}{\rho}\left(p_B-p_{\infty}-\frac{\Gamma}{R}\right)
の連立方程式になります。ここでpBは気泡の中の気体の圧力で、これは時と場合によって色んな構成則を使います。数値的に解く場合はどうやらこの連立方程式のままの方がいいようです。
で、それがあれな場合はこれをまとめて、
  R\frac{d^2R}{dt^2}+\frac{1}{2}\left(\frac{dR}{dt}\right)^2=-\frac{1}{\rho}\left(p_B-p_{\infty}-\frac{\Gamma}{R}\right)
になります。これがよくいうRayleigh-Plesset方程式なようです。

*1:Bernoulliの定理ともいう