Complex Ginzburg-Landau eq.

流体力学

やっと逆変換まで来たぜ。
複素積分の便利さが今になって身に沁みる。昔は留数定理だとかなんだとかなんの役に立つのか、そもそも特異点周りの積分なんてやって虚数がでてくるなんて何が面白いんだかわからなかったが、今に名って分かった。っつーか複素関数の授業単位落として、それいらいずっと独学してきたんだが、ここで始めて役に立った。
  \Bigint f(z)dz=2\pi i\sum Res[f(z)] \\ Res[f(z)]=\lim_{z\rightarrow a}(z-a)f(z)
になるというのが留数定理らしい。証明はLaurent展開すると出来るらしい。
今回やったのは
  \Bigint \frac{e^{st}}{(s-a)(s-b)}ds
で、極がs=aとs=bにあるので、それぞれの留数は
  Res_1= \frac{e^{at}}{a-b} \\ Res_2= -\frac{e^{bt}}{a-b}
なので積分の値は、
  \Bigint \frac{e^{st}}{(s-a)(s-b)}ds=2\pi i\frac{e^{at}-e^{bt}}{a-b}
になる。
まあこんなわけの分からない積分結果が有効になるのも複素平面上で議論を進めているときだけなのだが。