泡の振動についての摂動 - Sλの日記 --うつろな日々--

こんなもんでる訳ないじゃないかって調和振動についての式が出そう。どうやら線形解析で変異についての低次の項を取るのではなく摂動についての低次の項を考えるらしい。それで何とか調和振動の式が出せそう。
摂動法については何回かやってるが、未だにこの辺が慣れられないなあ。

具体的には、Young-Laplaceを導入して、粘性も考慮したBernoulliの定理の形式が、泡の半径について、
   $RR_{tt}+\frac{3}{2}R_t^2=\frac{1}{\rho} \left(p'-\frac{2\sigma}{R}-\frac{4\mu R_t}{R}\right)$
なんだが、これを変形すると、
   $R^2R_{tt}+\frac{3}{2}RR_t^2=\frac{1}{\rho} \left(p'R-2\sigma-4\mu R_t\right)$
そして、半径を平衡状態R₀からの変位xをつかって表すと、
   $R=R_0(1+x)$
になる。ここでxはε位の大きさの量とする。これを左辺に代入すると、
   $R_0^3x_{tt}+O(\epsilon^2)$
εについての一次の量までを拾うとかいう乱暴なことをするとこんなに簡単になってしまう。
次に右辺について考えると、
   $R_0\{2\sigma x+R_0(p_{Bx,0}x+p_{Bx_t,0}x_t+p_{\infty}\epsilon^{i\omega t})-4\mu x_t+O(\epsilon^2)\}$
になる。
ここで、無限遠で振動子があると考えて、泡の内部の圧力は級数展開してある。
それで、これをまとめると、
   $R_0^3x_{tt}-(R_0p_{Bx_t,0}-4\mu R_0)x_t-(2\sigma+R_0p_{Bx,0})x+R_0p_{\infty}\epsilon e^{i\omega t}=0$
になる。これで一応調和振動が導出できたことになる。
がしかし、まだ係数が上手いこともとの論文と一致しない。何でだー。