流体力学
ちょっと係数のうんちゃらで今混乱してて、TeXで成形してみればまとまって計算ミスも見付かりやすいと思って、TeXで編集して印刷してみた。でも計算ミスなんぞ見付からなかった。ということは級数展開のやり方を間違えた可能性が高い。 ということで、今日も…
こんなもんでる訳ないじゃないかって調和振動についての式が出そう。どうやら線形解析で変異についての低次の項を取るのではなく摂動についての低次の項を考えるらしい。それで何とか調和振動の式が出せそう。 摂動法については何回かやってるが、未だにこの…
なんつーか渦無し非圧縮の系っていうのは極度に抽象化されてて、最早一見さんお断りみたいな感じがプンプンする世界なんである。特にそれが極座標系なんかになると物凄いマニアックな世界になる。 っつーことで、ちょっとそれを扱うことになったので、一応書…
考えてる気液界面はbreathing modeで振動するから、円筒座標系で考えてても半径方向の変位しか考えないで良いとかいう良いちょろ加減な仮定をする。使うのはYoung-LaplaceとBernoulliだけ。あとは運動学的条件を速度ポテンシャルと変位の関係付けに使うかも…
Lambの本に載ってた。でもここでの扱いは、液体の界面に気体のジェットをぶち込むってもの。一応解析は円筒座標系。で、どうやら解はHanckel関数な模様。新しいと思ったことも似てる研究は結構やられてるもんだ。
あー俺はYoung-Laplace方程式を少し舐めて掛かっていた。すっかり忘れてた、あれがヤクい方程式であることを。大体曲率が入るものはろくなものがない*1。しかも変位について非線型でやんの、マジウザス。 とかさあ、マジで嫌になるっすよ。解ける気しねー。…
球の問題を考えると二つの曲率半径の項が同じ値を取るので、Young-Laplace方程式は、 で、これに粘性係数の項を入れると、 になるらしい。 剪断応力をどう書くかちょっと謎。っつーかもう少し詳しく説明してくれって感じだよ。
渦無し非圧縮で、膜振動を考えると、渦無しだから、u=-grad φで、u=rtになるから、 になる。 これはいい。納得できる。そして、渦無し非圧縮の場合速度ポテンシャルは調和関数なので、φ=1/rを基本解に持つこともまあ良い。 その後、界面をR(t)=rでおいたとき…
あー、積分できそうで、積分できないのがすげー腹立つ。 なんだけどね。何か積分できそうな気がするんだが、積分できないっす。公式集でも見てみるか。 別の教科書見たら、 が出てた。 これで積分できる。ということで、1週間止まってたものがやっとまた先に…
波動方程式は、 で、ここで波が周波数ωで振動してると仮定する。まあ複数の周波数が重ね合わさってても当面は問題は無いとしてみる。このへんは詰めてないから微妙だけど。まあ取り敢えず、u=v(r,θ)exp(-iωt)とか置いてみる。すると、 になる。 今、波速の定…
Bessel関数はBessel方程式を解くと出てくる関数で、件の方程式は、 みたいな感じの方程式で、解としてはBessel関数とNeumann関数がある。0次のNeumann関数は0の極限でlog xをとる。だから原点で発散する。で、Bessel方程式の一般解はBessel関数とNeumann関数…
線形解析してて、変位なり何なりの一次のオーダーで議論してる限りは摂動展開なんてしたところで意味がない。っつーことで、最初は非線型問題を扱う予定で、その摂動展開も考慮にいれてたんだが、線形解析だけになったので一つ手間が省けた。
最初は非線型でやろうと頑張ってたんだが、ボスに諭されて、最初は線形解析からやることにした。線形解析だとばっかみてーに簡単そうだ。でもそうでもなさそうなのがちょっと嫌々。 っつーか俺はBessel関数が欲しいんですよ。ただそれだけ。Bessel方程式は線…
Legendreの方程式は、球座標系での波動方程式*1、 を変形することで出てくる。 ここで波動関数のr方向の解をr-nとすると、 になる。これがLegendre方程式で、この方程式の解がLegendre関数だとか、Legendreの多項式。今は多項式の中身が問題なのではなくて、…
上の小見出から、Helmholtzから始める。 で、半径方向に変位が、 だとすると、球座標のLaplacianが、 なので、 になる。これがLegendreの方程式。だけど、一般的にkの項が0になってるもののことを指す。また、この方程式の解はLegendreの多項式とか、球面調…
はBessel方程式になるんだが、その過程は固有値問題みたいな感じ。今波の変位をuとすると、波動方程式は、 になる。ここで時間について変数分離して、 として波動方程式に代入すると、 になる。ここで下の式は波動方程式の分散関係式で、cは波速で、ωは周波…
これから解く問題はきっとBessel関数が出てくる。なので、Bessel方程式のか達を調べようと。 確か波動方程式の定常波の問題だった希ガス。Helmholtz方程式の円筒座標系での表現がBessel方程式で、その解がBessel関数、J、とNeumann関数、Y。何かその昔ちょっ…
変数xiの関数wが、同じように変数xiの関数pの関数だったとする。まあ合成関数。 ここでwをxで微分しようとすると、 になる。筈。 これをLaplace方程式の觧f=1/rでやってみる。因みにrは、 になる。 で、これの勾配を取ると、f=1/rは吸い込み流れなので、それ…
なんつーか直交多項式はLegendreだとかBesselだとかChevyshevだとかLaguerreだとか色々あるが、そんなもん所詮調和関数をどの座標系で解くかだけの違いでしかない。 Legendreは球座標で、Besselは円筒座標。その他はそれらのおまけ。Bessel関数のおまけで、H…
眺め終わったのであって、読んだわけではない。でもまあ方法は分かった。 球面調和関数、 は問題を球座標系で、球について解いてるから出てくるわけで、違う座標系で違う形状で解けば違う関数が出てくるのだろうということが分かった。あと、そういうことを…
半径rの球の体積の計算。体積, V,は、 で決まる。で、dSを考える。 dSはθ方向の弦長と、φ方向の弦長の積なので、それぞれの弦長を考える。 になる。因みに、xは弦長で、下付きはそれぞれの方向。φの変化についてsinθがつくのは球座標の定義で、φをそういう風…
シコシコと微分の計算をしてます。別にこんなもんフォローしなくても良いんだけど。 一応こだわりがあるということで。でもこだわりがあり過ぎると先に進まない。だから今日も1ページも進んでねーYO!! 結構適当に計算したら、それなりに論文書いた人の計算と…
膜振動って、一応Laplace方程式系の解で、球座標の場合については学部でやるんだよな。で、確か、こういうときは球座標系を使うと便利ですねってやるんだよな。内部問題と外部問題とか、なつかすぃ。今俺がやってるのはにたような問題なんだが、学部レベルで…
なんつーか、Hillの渦の解を求めるためだけのために壮大なる回り道をしてるわけだ。本当はこんなもん数学項式集からちょろまかしてくればいいんだけどな。 っつーことで、(r,z)から(ρ,θ)ヘの変換を考える。 から、 を計算する。 から、 になる。次に、θの方…
渦の不安定性について検索してたら、極低温でのBose-Einstein凝縮での渦とか出てくるんだけど、これって何ですか?量子力学でも渦が出来るのか?そういえば液体Heの量子乱流とかいうテーマも聞いたことがある希ガス。 なんつーか、数理モデルっていうのは色ん…
ゼミでボスとディスカッションした結果、これから扱う問題は大変形問題なので、摂動法は適用範囲外なんじゃなかろうかということになった。だから皆な数値計算してたのかよ。っていまさら気が付いた俺はかなりなお馬鹿さんです。 っつーか強非線形っていうの…
Solitonとsolitary waveの区別がいまいちわからないが、どっちもKdVの買いだと思って良いんだろうなあ。教科書にはsolitary waveを記述するKdVの解が非線型方程式の解なのに、二つの孤立波の解を仮定して解いた場合、二つの波は通り抜けて粒子的な振舞をする…
その昔、子供の頃は人間は科学技術の進歩で何でも出来て、解けない問題は無くて、凡そこの世に人間に解けない問題なんぞ存在しないと思ってたんだが、大学入った瞬間分かんないらしいことが沢山出てきて、今になっても分からないことが分かったことが多かっ…
やっとStrum-Liouville方程式からKorteweg-deVries*1方程式を導くのに成功したっす。後には累々たる計算用紙の屍が10枚程。っつーことで、この達成感を示すために導出のサマリーを示しますよ。なんたってこちとら1年間まるまる便秘だったのがある日突然猛烈…
Strum-Liouville方程式を時間微分した奴の絞りカスを、Strum-Liouville方程式を構成する作用素Lと任意の線形微分作用素Bの交換子をくっつけて、 になる。 今、Bをxについての三階の微分演算子として、 とする。ただし、fは微分作用素Dについての二階の演算子…
