まあ波動方程式で時間的に定常な波動を仮定するとHemlholtz方程式が出てくる。定常振動をexp(-iωt)とすると、 ここで波動方程式の分散関係、ω=ckを使って書くと、 になる。ここで円筒座標系で方程式を書いて、方位角方向にn次のモードの振動exp(inθ)があると…

Laplace方程式は、 な訳だが、これは変数分離することで解くことが出来る。で、R(r)とΘ(θ)に分けることにすると、φ=RΘになって、これを上の方程式に代入すると、 になる。ここでλは変数分離定数で、偏微分方程式がふたつの常微分方程式、 になる。 で、最初…

Orr-Sommerfeld方程式は、 で、Dは微分演算子。っていうのなんだが、ここで粘性を無視して、右辺を0と考えるとRayleigh方程式、 になる。このRayleigh方程式を考えることでOrr-Sommerfeld方程式の卓越する日粘性の不安定性を考えることが出来るらしい。でも…

漸近解っていうのはまあ漸近線と同じ様なイメージで、無限遠で厳密解に漸近していくような解のことをいう。或は、どーせ微分方程式なんて解けやしないんで、無限遠に注目して、十分に離れた場所とか時間での挙動だけ分かれば良いやと悟ることを漸近解を求め…

二次元の粘性を考えた渦度方程式は、 ここでReはReynolds数で、Ωが渦度。これを流れ関数Ψで表すと、流れ関数と渦度の間の関係は、Ω=△Ψなので、 になる。 ここで流れ関数を主流成分と摂動成分に分ける。今鉛直上向きに主流の流速分布があって、それがU(y)でか…

普通は波動方程式を解くときは面倒なんで時間について定常な解を仮定して、それでもって波動方程式をHelmholtz方程式にして、それを解いたりする。円筒座標系のHemlholtz方程式がBessel方程式なので、まあBessel方程式の解は波動方程式の部分集合だったりす…

ポテンシャルと変位について計算してるんですがね、それぞれの解に三角関数を使うか指数関数を使うかで微妙に結果が異なるわけですよ。三角関数を使う場合は、ポテンシャルをΦで、変位をξにすると、 みたいな感じになるんですよ。 で、一方で、指数関数を使…

主流成分を0に近づけていくと、主流が無いときの解と同じになるっすよ。いやなんつーかいい感じですよ。やっぱ昨日の夜中に思いついたことがツボに嵌った感じだ。

あまりにも長過ぎてTeXで一行に収まらなくなりました。改行せねば。 これを改行してちゃんと見えるようにすると、 になるのかな?

今、Bernoulliの定理とYoung-Laplace方程式を掛け合わせたものを計算してるのですよ。 非定常Bernoulliは、 でYoung-Laplaceはくたくたと近似をしてくと、 なんですよ。まあTは表面張力係数なんですがね。 でもって、これを非定常Bernoulliに代入すると、 に…

主流部分小さくさせていって、微小変形論の範疇の話しに解が漸近していかないといけないということなので、摂動の項は結局時間の他に場所についての関数で泣ないとけないことが分かった。ということで、 になる。 ここでnのモードの場合を考えるかどうかが微…

えーとですね、微分幾何的には、主曲率っていうのは第一基本形式と第二基本形式の比で決まるのです。確かそうだったきがする。所詮数学科でない俺の知識なぞこんなもの。でもって、それとベクトル解析の公式を結びつけるのがあるんだけど、それの証明がどう…

なんつーか、これも繰り込み群と似た発想で、っつーかこっちの方が先にあるんだけど、ちょっと膨らましてみて、削り取ったカスはどうなるんだみたいな感じの解析。全然説明になってないけど。 まあ線型写像の核についての議論をしてる場合にはあんまし関係な…

ベクトル解析の授業受けたのが多分学部の一年の頃だったんで、かれこれ6年経つわけですが、それだけ時間が経つと記憶も薄れて行くものでして、スカラー関数にナブラ作用素を掛けて出来たベクトル場はスカラー関数の軌跡と直交するとかですね、もうかなりしど…

渦無し非圧縮の範疇で渦を扱うにはポテンシャル渦を使わないと行けないわけで、まあそれは良い。それが振動してるとなると、主流成分と摂動の成分に分けることになるわな。そしてそれが利いてくるのは力学的境界条件の中の流速の項だわな。 でこれをうだうだ…

回転っていえばまあポテンシャル渦かBurgers渦が思い付く。でもって簡単なのを使おうってことで、ポテンシャル渦を考えるとするわな。すると、複素速度ポテンシャルをWとすると、 になる。ここでz=reiθで、これを代入すると、 になる。 ここで、複素速度ポテ…

約半年だか1年前に何でこうなるのかが良く分からなかったことが今日やっと分かるようになったよ。 円筒座標系での流れ関数による流速の表記は、 になるんだが、何で分母にrが入るのかが良く分からなかった。 因みに、計算はベクトルポテンシャルを使ってやる…

重力を考えると、表面張力と流体内外の圧力差と重力による力の総和は、接触角a0について、 になる。 これが最後の仕掛け。これで何とか理論の方はまとめられると思いたい。あと、この系でのYoung-Laplace方程式は、弧長と偏角の系で、

最初に長波近似しない場合。 波動方程式の時間についての項をexp(-iΩt)として、色々ゴチャゴチャ計算する。 になって、これの解はBessel関数とNeumann関数の重ね合わせで、 になる。 これの漸近的な振舞いは、x=0近傍で、 になる。 次に、長波近似したとき、…

Bernoulliの定理について、渦無し非圧縮のときの全水頭をHとすると、 になる。 二層界面を考える場合、定常で、流れもないと考えるので、項を落として、 一方で、二層の間の圧力の差は、表面張力でペイされて、 γは表面張力係数。次に、Bernoulliについて、…

Bessel方程式の解の一般的なのがHankel関数で、 で、すげー訳分からん。そして変数zはうっかり複素数。でも複素数だから逆に良いこともある。 あと、ψはポリガンマ(polygamma)関数っていう奴のうちのジガンマ(digamma)関数で、Γ関数から、 で定義される。 あ…

波動方程式について、時間について定常な解があるとして、その形をcos(-Ωt)とすると、波動方程式は、 ここで、分散関係からきまる波数をνとすると、 また、z方向にcos(kz)の解を持つとすると、 方位角θ方向にcos(nθ)の解を持つとすると、 になる。 これで波…

Laplace方程式は、 を満たしてれば変数は何だろうが気にしない。 この方程式は、二つの経路で導出される。 一つ目は渦無し非圧縮流体の質量保存、もう一つは膜振動についての波動方程式を長波近似したものの変位。 一つ目は、渦無し非圧縮は、 で、渦無しか…

波面があったとして、その関数がζで表されるとき、波面の関数と、波面上の座標は場所が一致してないと困るというのが運動学的境界条件。 今、波面と言うのは波高ζとして、二次元平面上の場所(z,y)の関数として、ζ=ζ(x,y)という風に表される。一方で、波面の…

渦無し非圧縮では速度ポテンシャルを定義できるんだが、その定義はポテンシャルの減少に対して速度が増加するとか、確か向きを逆にするって言うのがあって、 だった気がする。 これは流体に限らず、電磁気でも普通の力学でもそうだった気がする。まあ別に正…

微小振幅波の範疇では、波動運動は波動方程式、 で書かれる。 今、時間について、Φ=Φ(r)exp(-iΩt)で振動してたとして、これを波動方程式に代入すると、 ここでkは普通の波動方程式の分散関係から導かれる波数。波の波長が振動子より十分デカいとすると、波数…

調和関数は△Φ=0を満たす関数だが、多重調和関数というのは、△2Φ=0を満たす関数らしい。というか、△nΦ=0でも良いらしい。 今、二次の多重調和関数、 を考えて、その解を、 とすると、上の方程式は常微分方程式、 になる。 固有値をλとすると、固有方程式は、 …

今考えてるのは自由表面上の力学的境界条件で、その場合は接線方向に力は掛かっていないと考えるの。だから、外向きの力は全て法線方向に作用する力で表されるという表現になる。 応力テンソルを使うと、外向きに作用する力は、 で、外向きに作用する力から…

Stokes方程式、 のdivをとると、 で、連続の式から、 になって、これを更にStokes方程式にLaplacianを掛けたのに代入すると、 になる。 ここで、z方向成分の解wを、 とすると、変形したStokes方程式は、常微分方程式、 になる。 これを解くんだが、面倒臭く…

線形解析をする。っつーかこの解析の原論文は1878年で、俺が生まれる100年位前に書かれてたりする。ちょっと本物を見てみたいなあって思って調べたらどうやらうちの大学の図書館にあるっぽい。マジっすかって感じだ。 ちょっと明日見てこよう。 極座標系での…